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二、整除问题
（一）整除性质
如果整数a除以整数b（不为0），除得的商正好是整数，那么就称整数a能被整数b整除，或者称整数b能整除整数a，并称整数a是整数b的倍数，整数b是整数a的约数。
1．数字整除的特性
在数学运算试题中，通常需要考生分析某一数值能否被常见数值整除，因此，我们只有熟悉能被常见数值整除的数字的基本特征，才能快速应用到试题的解答中。
表2 能被常见数值整除的数字的基本特征
分类 常见数值 2 分析末一位数或者末几位数 8（或125） 末三位数是8（或125）的倍数 分析各位数字之和 5 数字特征 举例 末位数字是0、2、4、6、8的整数 12、46均能被2整除 末位数字是0、5的整数 60、95均能被5整除 124的末两位数为24，能被4整除，故124能被4整除 7625的末三位数为625，能被125整除，故7625能被125整除 7916091的各位数值之和为7+9+1+6+ 0+9+1=33，33是3的倍数，不是9的倍数，故7916091能被3整除，不能被9整除 奇数位置上的数字和与偶数位置上的数字和之间的差是11的倍数 17970205奇数位数字之和为1+9+0+0=10，偶数位为7+7+2+5=21，而21-10=11，11能被11整除，所以17970205能被11整除 1059282分为1059和282两个数，由于1059-282=777，777能被7和11整除，不能被13整除，故1059282能被7和11整除，不能被13整除 4（或25） 末两位数是4（或25）的倍数 3（或9） 各位数字之和是3（或9）的倍数 分析两部分数字的差值 11 分析两部分数字组成的数的差值 一个整数的末三位与末三位以前（11或13）7 的数字所组成的数之差（以大减小）是7（11或13）的倍数
在这些整除特点中，3（或9）的整除特点是行测考试中最常考的，7（11或13）和8（或125）的整除特点较难掌握，考查的可能性较小，但并不意味着不出现，其中对7的整除特性的考查就出现在2010年的试题中。此外，以上给出了能被11整除的数字的两种特征，这两个特征都可以用来判断一个数是否能被11整除。
2．整除的扩展特征
性质1：如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被数c整除； 性质2：如果数a能被数b整除，数b又能被数c整除，那么数a也能被数c整除； 性质3：如果数a能被数b与数c的积整除，那么数a也能被数b或数c整除；
性质4：如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么数a一定能被数b与数c的乘积整除；
性质5：如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除（m≠0）；
性质6：如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除；；
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【经典例题】
例1：（2010·北京应届）有大、中、小三种文件夹，大文件夹里装的文件数是小文件夹的5倍，比中文件夹多100件，小文件夹里装的文件数是中文件夹的三分之一，三种文件夹共装了多少件文件？
A．300 B．420 C．450 D．550 【答案】C
【解析一】根据题意可知，大文件夹里的文件数是小文件夹里文件数的5倍，中文件夹里的文件数是小文件夹里文件数的3倍，故大、中、小三个文件夹里的文件数必能被5+3+1=9整除，分析选项，显然只有C项符合。
【解析二】根据题意，设小文件夹里的文件数为x件，则大文件夹里的文件数为5x件，中文件夹里的文件数为3x件，则有5x-3x=100，解得x=50，故三种文件夹共装了50×（5+3+1）=450件文件。
例2：（2009·国考）甲乙共有图书260本，其中甲有专业书13%，乙有专业书12.5%，那么甲的非专业书有多少本?
A．75 B．87 C．174 D．67 【答案】B
【解析】根据题意，由于“甲有专业书13%”，故甲拥有的图书的数量必为100或者200（13为质数，且总数目为260），则此时乙拥有的图书的数量只能为160或者60。由于“乙有专业书12.5%（
18）”，这就意味着乙拥有的图书的数量必能被8整除，故乙只能拥有160
本图书。此时甲的非专业书为（260-160）×（1-13%）=87本。
例3：（2009·浙江）甲、乙两个工程队，甲队的人数是乙队的70%。根据工程需要，现从乙队抽出40人到甲队，此时乙队比甲队多136人，则甲队原有人数是：
A．504人 B．620人 C．630人 D．720人 【答案】A
【解析一】由于“甲队的人数是乙队的70%”，故甲队原有人数必能被7整除，排除B、D项；且乙队原有人数必能被10整除，故乙队人数的尾数必为0。根据“现从乙队抽出40人到甲队”可知，此时甲队人数的尾数与原有人数的尾数相同，由于“此时乙队比甲队多136人”可知，甲队人数的尾数为0-6的尾数，即为4，分析选项，显然只有A项符合。
【解析二】根据题意，设甲队原有x人，乙队有y人，则有??x?70%y?y?40?x?40?136，解得
x=504。
【名师点睛】在解答试题时，可结合其他运算技巧，如尾数法、归纳法等等，从而提高解题速度。
例4：（2010·上半年联考）n为100以内的自然数，那么能令2n-1被7整除的n有多少个？
A．32 B．33 C．34 D．35 【答案】C 【解析】由于n为100以内的自然数，当n=0时，2n-1=0，能被7整除；当n=1时，2n-1=1，被7除余1；当n=2时，2n-1=3，被7除余3；当n=3时，2n-1=7，能被7整除；当n=4时，2n-1=15，被7除余1，当n=5时，2n-1=31，被7除余3??以此类推，当n取3的倍数时（除去0），能被7整除，由于101÷3=33??2，则这样的n值有33+1=34个。
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【名师点睛】在解答整除问题时，通常会用到以下几点： （1）如果A是B的n倍，则（A+B）能被（n+1）整除，（A-B）能被（n-1）整除；如果A比B多n倍，则（A+B）能被（n+2）整除；
（2）如果A、B均为整数，a与b互质，且有A=B×，则A一定能被a整除，B一定
ba能被b整除；
例5：（2010·北京下半年）将大米300袋、面粉210袋、食用盐163袋按户分给某受灾村庄的村民，每户分得的各种物资均为整数袋，余下的大米、面粉和食用盐的袋数之比是1:3:2，则该村有多少户村民？
A．7 B．9 C．13 D．23 【答案】D
【解析一】由于余下的大米、面粉和食用盐的袋数之比是1:3:2且都为整袋，因此余下的大米、面粉和食用盐的总袋数为6的倍数，因此三项物资的总数除以村民户数所得余数是6的倍数，代入选项验证，只有D符合条件。
【解析二】根据题意，余下的大米、面粉和食用盐的袋数之比是1:3:2，故余下的大米和食用盐的袋数和面粉的袋数相同，则有大米和食用盐的袋数减去面粉的袋数，即300+163- 210=253必能被村民的户数整除，分析选项，显然只有D项符合。
【名师点睛】假设整数A除以整数C的余数为a，整数B除以整数C的余数为b，则（A-a）-（B-b）必能被整数C整除；如果a=b，则（A-B）必能被整数C整除。
（二）奇数与偶数
根据能否被2整除，可将整数分为奇数和偶数两大类，其中能被2整除的数叫做偶数，用2k（k为整数）表示；不能被2整除的数叫做奇数，用2k+1表示。因为0能被2整除，所以0是偶数。
在行测考试数学运算部分，常用到的奇数与偶数的性质有以下几个：
（1）当两个数字相加减，且数字的奇偶性相同时，得到的和值或者差值为偶数，反之，则为奇数；
如：奇数±奇数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数±偶数=偶数。
（2）奇数个奇数的和或差为奇数，偶数个奇数的和或差为偶数；
（3）在整数的加减运算中，偶数的个数不改变结果的奇偶性，奇数的个数将会影响结果的奇偶性；
如：奇数+偶数+偶数+??+偶数-奇数=偶数；奇数+偶数+偶数+??+偶数-奇数+奇数=奇数。
即：当奇数的个数为奇数个时，加减运算后得到的结果为奇数，当奇数的个数为偶数个时，加减运算后得到的结果为偶数。
（4）在整数的乘法运算中，若乘数全部为奇数时，得到的结果为奇数，若乘数有一个或多个偶数时，得到的结果就为偶数；
如：奇数×奇数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数；奇数×奇数×奇数×??×奇数×偶数=偶数。
（5）多次方运算后（指数为正整数），不影响数值的奇偶性。
【经典例题】
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例1：（2008·国考）若x、y、z是三个连续的负整数，并且x＞y＞z，则下列表达式是正奇数的是：
A．yz-x B．（x-y）（y-z） C．x-yz D．x（y+z） 【答案】B
【解析】根据题意，由于x、y、z是三个连续的负整数，并且x＞y＞z，因此x、y、z的奇偶性有两种可能：（1）x、y、z为奇数、偶数、奇数，那么根据数字的奇偶性质，可排除C项；（2）x、y、z为偶数、奇数、偶数，那么根据数字的奇偶性质，可排除A、D两项。从而得到答案选B。
【名师点睛】由于x、y、z是三个连续的负整数，且连续两个整数的差必为1或者-1，同时x＞y＞z，故x-y=y-z=1。
例2：（2007·浙江）同时扔出A、B两颗骰子（其六个面上的数字都为1，2，3，4，5，6），问两颗骰子出现的数字的积为偶数的情形有几种？
A．27种 B．24种 C．32种 D．54种 【答案】A
【解析】根据奇数与偶数的乘法运算性质，要使得两颗骰子出现的数字的积为偶数，可分为两种情况：（1）A出现的数字为奇数且B出现的数字为偶数，A出现奇数的可能性为3种，而B出现偶数的可能性亦有3种，所以积为偶数的有3×3=9种；（2）A出现的数字为偶数，有3种可能性，则此时B出现任意数都满足条件，共有6种情况，所以积为偶数的有3×6=18种。从而有积为偶数的情形共有9+18=27种。
（三）质数与合数
如果一个大于1的正整数，除了1和它本身，不再有别的约数，那么这个正整数就被称为质数，或者素数。如果一个正整数除了1和它本身，还有其他的约数，那么这个正整数被称为合数。
在行测考试数量关系部分，常用到的数字质合性有以下几点： （1）0和1既不是质数，也不是合数；
（2）在自然数的范围内，最小的质数是2，2也是唯一的偶质数，最小的合数是4。 在近几年，经常会考查考生对100以内的中质数和大质数的敏感程度，因此考生需要记住100以内的25个质数，并保持足够的敏感度，为了便于考生记忆，我们将这25个质数分类列于下表中。
表3 100以内质数表
范围 10以内（小质数） 10~50（中质数） 50~100（大质数） 2，3，5，7 11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47 53，59，61，67，71，73，79，83，89，97 质数
【经典例题】
例1：（2008·河北）自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？
A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A
【解析】根据题意，由于N的个位数与十位数均是质数，故组成N的数字只能是2、3、5、7，由这四个数字组成的两位数为质数的有23、37、53、73，共4个。
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