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第一章：材料电学性能
1 如何评价材料的导电能力？如何界定超导、导体、半导体和绝缘体材料？
用电阻率ρ或电阻率σ评价材料的导电能力。
按材料的导电能力（电阻率），人们通常将材料划分为：
（1）绝缘体108??（?.m）8（2）半导体10?2???10（?.m）2（3）导体10-8???10?（?.m）（4）超导体??10（?.m）?27
2、经典导电理论的主要内容是什么？它如何解释欧姆定律？它有哪些局限性？
金属导体中，其原子的所有价电子均脱离原子核的束缚成为自由电子，而原子核及内层束缚电子作为一个整体形成离子实。所有离子实的库仑场构成一个平均值的等势电场，自由电子就像理想气体一样在这个等势电场中运动。如果没有外部电场或磁场的影响，一定温度下其中的离子实只能在定域作热振动，形成格波，自由电子则可以在较大范围内作随机运动，并不时与离子实发生碰撞或散射，此时定域的离子实不能定向运动，方向随机的自由电子也不能形成电流。施加外电场后，自由电子的运动就会在随机热运动基础上叠加一个与电场反方向的平均分量，形成定向漂移，形成电流。自由电子在定向漂移的过程中不断与离子实或其它缺陷碰撞或散射，从而产生电阻。
??J??E，电导率σ= （其中μ= ，为电子的漂移迁移率，表示单位场强下电子的
漂移速度），它将外加电场强度和导体内的电流密度联系起来，表示了欧姆定律的微观形式。
缺陷：该理论高估了自由电子对金属导电能力的贡献值，实际上并不是所有价电子都参与了导电。（？把适用于宏观物体的牛顿定律应用到微观的电子运动中，并且承认能量的连续性）
3、自由电子近似下的量子导电理论如何看待自由电子的能量和运动行为？
自由电子近似下，电子的本证波函数是一种等幅平面行波，即振幅保持为常数；电子本证能量E随波矢量的变化曲线 是
E（k)一条连续的抛物线。
?
4、根据自由电子近似下的量子导电理论解释：准连续能级、能级的简并状态、简并度、能态密度、k空间、等幅平面波和能级密度函数。
准连续能级 ：电子的本征能量是量子化的，其能量值由主量子数n决定，并且其能量值也是不连续的，
能级差与材料线度L2成反比，材料的尺寸越大，其能级差越小，作为宏观尺度的材料，其能级差几乎趋于零，电子能量可以看成是准连续的。
能级的简并状态 ：把同一能级下具有多种能态的现象称为能级的简并状态。 简并度 ：把同一能级下的能态数目称为简并度。
能态密度 ：对于某一个电子体系，在k空间内单位体积内能态的数量或倒易节点数称为波矢能态密度。ρ =V/(2π)3，含自旋的能态密度应为2ρ K空间 ：如果使用波矢量????k的三个分量k1,k2,k3为单位矢量构筑坐标系，则每个能态在该坐标中都
是一个整数点，对于准连续的能级，此坐标系中的每个整数点都代表一个能态。人们把此坐标系常数称为k空间或状态空间。
等幅平面波 ：量子导电理论中在自由电子近似下用来描述电子运动行为的本征波函数，其波幅保持为常数。
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能级密度函数 ：电子的波矢能态函数对其能量的分布函数，可以认为是在单位能量宽度上的能态分布，表达式为：NV?dZ/dE?(V/4?)(2m/?)E
232212
5、自由电子近似下的等能面为什么是球面？倒易空间的倒易节点数与不含自旋的能态数是何关系？为什么自由电子的波矢量是一个倒易矢量？
①因为在k 空间内，能量的大小仅与波矢k的长度有关，而与波矢的方向无关，所以所有等长的波矢均代表一个相同的能级，因此代表同一能级的所有状态点在k空间中应分布在以坐标原点为中心、以k为半径的球面（等能面）上。
②倒易空间的倒易节点数=不含自旋的能态数
③在波矢的计算中利用周期性边界条件、欧拉公式以及倒易矢量关系式得到如下关系式
??????kNa?kNa?kNa?0111222333?l2π如果令li为任意整数，则ki?i?Naii根据倒易矢量定义令b?2?/a,则波矢量可写成ii????l2l3πl22πl32πl1l21?b1?Nb2?Nb3????k?N?NaNNa1a12312233???
这样就很容易证明了电子波的波矢量k就是晶格对应的倒易空间的倒易矢量。
6、自由电子在允许能级的分布遵循何种分布规律？何为费米面和费米能级？何为有效电子？价电子与有效电子有何关系？如何根据价电子浓度确定原子的费米半径？
①允许能级中的电子在各能态的分布遵循费米--狄拉克统计分布规律。其分布函数为：
1，其中E为电子的能量,EF为费米能量或化学势，kB为波尔兹曼常数，T为绝f(E)?exp[(E?EF)/kBT]?1对温度。
分布函数的物理意义表示：T温度下，能量为E的能态被电子占据的概率为f（E），其图形如图：
绝对零度时（基态），E T温度下（T>0的激发态），分布函数在费米能量附近的陡直程度下降了，分布对应的能量范围约为EF附近?kBT区间。可见温度越高，分布变化所对应的能量范围越宽。但E=EF时，f(E)恒等于1/2.这种变化的物理本 质为：原来处于费米面以下邻近费米能级的一部分电子由于受到kBT能量的热激发而可以跃迁到费米面以上 - 2 - 能区。 ②费米面和费米能：按自由电子近似，电子的等能面在k空间是关于原点对称的球面。特别有意义的是E=EF的等能面，它被称为费米面，相应的能量成为费米能。 ③有效电子：能量位于费米面附近的部分价电子，当它们受到某种能量的激发而跃迁到允许电子存在的不满态能区时，才能成为真正意义上的自由电子，我们把这些自由电子称为有效电子。 ④价电子是有可能越过费米面而参与导电的所有电子的集合，属于原子中比较活跃的电子，有效电子属于价电子，只是它越过了费米面而进入了未满能带而能够参与导电。 ⑤费米半径和价电子浓度N的关系： kF?(3?2N)3(三维空间）kF?(2?N)2(二维空间）kF??N(一维空间）11 7、自由电子的平均能量与温度有何种关系？温度如何影响费米能级？根据自由电子近似下的量子导电理论，试分析温度如何影响材料的导电性。 ①温度升高，自由电子的平均能量升高。 ②温度升高时，因为部分电子被激发，费米半径减小，材料原子的费米面略微下降，但在很大的温度范围内，可近似认为不受温度影响。 ③对于自由电子，温度上升使其能量提高，运动速度加快，但均匀的温度场只能使其作方向随机的热运动，只有不均匀的温度场才能使其产生定向漂移；对于费米面以下靠近费米面的价电子，温度场能促进其激发，能增加材料的有效电子数量；对于离子，增加温度则显著提高其热振动的振幅和频率，即增加声子的数量，其效果是极大地增加了离子实对电子的散射几率；另外还可能改变晶格周期场和电子的有效质量。总体上材料的电阻率随温度增加而增加，但材料不同，温度范围不同，二者的相关规律不同。 8、自由电子近似下的量子导电理论与经典导电理论在欧姆定律的微观解释方面有何异同点？ 相同：都以自由电子作为电能传输的载流子。 不同：经典导电理论认为原子核外的所有价电子都参与了导电，而量子导电理论则是通过费米能级和费米面这一概念将价电子划分为两种状态，并且认为只有越过费米面之上的价电子（有效电子）才能够参与导电。 9、何为能带理论？它与近自由电子近似和紧束缚近似下的量子导电理论有何关系？ ①在电子能量分布状态中，如果考虑晶格周期势场对其的作用，那么电子的本证波函数就会变成一种由晶格周期势场调制的调幅平面波，并且在一定特定的能量位置上发生了断裂，即在k轴上出现了不允许电子存在的间断点，材料中这些不允许电子存在的能隙就是所谓的禁带，而允许电子存在的能区被称为允带，相应的理论也被称为能带理论。 ②能带理论与近自由电子近似和紧束缚近似下的量子导电理论的差别仅在于晶格周期势函数采用不同的近似，使得晶格周期势场的起伏程度不同，晶格周期势场无起伏时称为自由电子近似，晶格周期势场起伏不大时称为近自由电子近似，晶格周期势场起伏很大时称为紧束缚近似。 10、孤立原子相互靠近时，为什么会发生能级分裂和形成能带？禁带的形成规律是什么？何为材料的能带结构？ ①能级分裂：将N个原子逐渐靠近，原子之间的相互作用逐渐增强，各原子上的电子受其它原子（核）的影响；最外层电子的波函数将会发生重叠，简并会解除，原孤立原子能级分裂为N个靠得很近的能级；原子靠得越近，波函数交叠越大，分裂越显著。 ②能带形成：当两个原子靠近时，核外电子的交互作用逐渐增强，最外面的价电子最先产生交互作用，电子的能级发生交叠。因为越是处于外层的电子，其能量越高，能级量子数越大，所以这种能级交叠首先发生在价电子层，由于受到泡利不相容原理的限制，能级虽然发生交叠，但其中能态不能重叠，并且原子数量越多， - 3 - 这种交叠区的能级密度就越高，这种交叠结果使许多能级聚集到一起形成了能带。 ③本征能量的函数的间断点出现在布里渊区的界面处，能级间断一定是在这些位置，但是材料中这些位置并不一定出现禁带，能隙的宽度等于晶格周期势函数的傅立叶展开式中相应项的系数的二倍，当能级的间断宽度达到一定程度而使得大多数电子不能够跨越时，便形成了禁带。 ④材料的能带结构是指能带的具体构成形式，包括构成、排列方式、能级差和费米能级在其中位置等。 11、在布里渊区的界面附近，费米面和能级密度函数有何变化规律？哪些条件下会发生禁带重叠或禁带消失现象？试分析禁带的产生原因。 ①费米面变化规律：考虑到晶格周期势场影响时，费米面在与布里渊区界面的交界处不连续，费米面有可能穿越布里渊区，受布里渊区的界面的影响，费米面的形状会发生畸变，这种影响和畸变程度随两个面间距的减小而加剧。 ②能级密度函数变化规律：如果取等厚度球壳为k空间的微元体积，在布里渊区之内，随球半径的增加球壳体积增加（同体积条件下球形表面积最小），即单位能量容纳的能态数增加，N（E）达到最大值，等能面半径继续增加，其外表面就逐渐接触第一布里渊区的界面，球壳外表面就会破裂，进而也会使整个球壳变得千疮百孔，支离破碎，k空间等厚度球壳微元体的体积就会逐步减小，该阶段N（E）曲线会显著下降。当部分球壳穿越第一布里渊区进入第二布里渊区后，N（E）曲线会重新上升。 ③禁带不出现或禁带重叠：受晶体结构因素的影响，能带的重叠可以使禁带消失；晶格周期势场傅立叶展开级数的系数为零，禁带消失；多原子原胞（复式格子）晶体，因基元散射时的结构消光而使禁带消失。 ④禁带产生原因：本征能量出现在布里渊区界面处间断造成了禁带的产生。 禁带不出现的原因： （Ⅰ）受晶体结构因素影响，能带的重叠可以使禁带消失。 （Ⅱ）晶格周期势场傅立叶展开级数的系数为零，禁带消失。 （Ⅲ）多原子原胞（复式格子）晶体，因基元散射时的结构消光而使禁带消失。 12、在能带理论中，自由电子的能量和运动行为与自由电子近似下有何不同？ 能带理论中，自由电子的波函数由等幅平面波变成晶格周期势场调制的调幅平面波，电子的本征能量不再是连续的抛物线，而是在晶格的布里渊区界面处出现间断，原来准连续的能级现在变成了由允带和禁带组成的能带结构，这使得自由电子不能在各个能级上自由地跨越和变动，而必须跨过禁带才能到达不同的能级中，这需要外界提供额外的能量，材料的能带结构以及费米面在能带中的位置因素必然会影响电子的激发跃迁行为，进而影响材料的导电性。 13、自由电子的能态或能量与其运动速度和加速度有何关系？何为电子的有效质量？其物理本质是什么？ ①能量处于k状态的电子运动速度等于波矢为k电子波的传播速度，其运动速度取决于能量对波矢量的商数或者偏导数（前者为相速度，后者为群速度）。 ???dv1dEF1d2E?1②电子有效质量m*定义为：由?.F对比于牛顿运动方程a?得：（m*)?2? dt?2?m?dk2dk2??2③电子的有效质量是对电子本征质量的一种修正，为的是在计算中将电子受到的外场作用和晶格周期场对电子综合作用力综合在一起考虑，从而折算为电子的质量变化，方便计算和表达。引入电子有效质量概念完全是为了让电子在晶格周期场中的运动规律仍具有牛顿定律的形式而把晶格周期场对电子的作用力折换成其质量变化，或者说电子的有效质量中包含了晶格周期场对电子作用力的影响。电子有效质量的变化实际上反映了晶格周期场对电子运动速度、加速度和能量的影响。 - 4 -