发布时间 : 星期日 文章高三第一轮复习 函数的性质（周期性与奇偶性）更新完毕开始阅读
函数的性质
函数的奇偶性、周期性和对称性
【提纲挈领】
主干知识归纳 1.函数奇偶性的定义
一般地，如果对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），则f（x）叫做偶函数；同理如果对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），则 f（x）叫做奇函数. 2. 周期性
(1)周期函数：T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件： ①T≠0；
②f(x＋T)＝f(x)对定义域内的任意x都成立．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期． 3. 对称性
奇函数关于原点对称；偶函数关于y轴对称.
方法规律总结 1．函数奇偶性的判断
（1）定义法：一般地，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．因此，判断函数的奇偶性，首先应考察函数的定义域．若函数若函数则
f(x)的定义域不关于原点对称，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数；
，
f(x)的定义域关于原点对称，则应进一步考察f(?x)是否等于?f(x)．若f(?x)??f(x)f(x)是奇函数，若f(?x)?f(x)，则f(x)是偶函数．
（2）图象法：若函数图象关于原点对称，则是奇函数；函数图象关于y轴对称，则是偶函数.
（3）性质法：在公共定义域内：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
2．周期性结论：若
f(x?m)??f(x)恒成立，则f(x)是周期为2m的函数；若f(x?m)?1f(x)恒成立，则
f(x)是周期为2m的函数；
f(a?x)?f(b?x)恒成立，则
3.对称性：若
f(x)关于
x?a?b2对称；若
f(a?x)?f(b?x)?2c恒成立，则f(x)关于(a?b,c)对称. 2【指点迷津】
【类型一】函数的奇偶性
【例1】：判断下列函数的奇偶性，并说明理由．
1
11
(1)f(x)＝x?2x－1＋2?；
??
(2)f(x)＝log2(x＋x2＋1)； (3)f(x)＝3－x2＋x2－3；
2
?x＋x ?x<0?
(4)f(x)＝?2；
?－x＋x ?x>0?
(5)f(x)＝x2－|x－a|＋2.
?【解析】(1)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f(－x)＝－x?2
2x111
＝x?2x－1－2?＝x?2x－1＋2?＝f(x)，∴f(x)是偶函数． ????(2)函数定义域为R.∵f(－x)＝log2(－x＋x2＋1)＝log2∴f(x)是奇函数．
112x1
??＋－x＝－xx＋? －12??1－22?
1
＝－log2(x＋x2＋1)＝－f(x)， 2x＋x＋1
2
?3－x≥0，(3)由?2得x＝－3，或x＝3.∴函数f(x)的定义域为{－3，3}．
?x－3≥0，
又∵对任意的x∈{－3，3}，－x∈{－3，3}且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)； 当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)． ∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．故f(x)为奇函数． (5)函数f(x)的定义域为R.当a＝0时，f(x)＝f(－x)，∴f(x)是偶函数；
当a≠0时，f(a)＝a2＋2，f(－a)＝a2－2|a|＋2. ,f(a)≠f(－a)，且f(a)＋f(－a)＝2(a2－|a|＋2) 1
＝2|a|－2
()
2
7
＋≠0，∴f(x)是非奇非偶函数．∴当a＝0时，f(x)是偶函数； 2
当a≠0时，f(x)是非奇非偶函数． 【例2】：已知【解析】∵
f(x)(x?R)为奇函数，当x?0时，f(x)?x(5?x)?1，求f(x)在R上的表达式.
f(x)是R上的奇函数，∴f(0)?0．
当x?0时，?x?0，故有 ∵
f(?x)??x?5?(?x)??1??x(5?x)?1.
f(x)为奇函数，∴ f(x)??f(?x)?x(5?x)?1．
∴
?x(5?x)?1 (x?0),?f(x)??0 (x?0),
?x(5?x)?1 (x?0).?【类型二】函数的周期性
【例4】：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图像关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，
(1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；
2
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)的值．
(1)证明：函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图像关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)【解析】
＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．
(2)当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图像关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22x－1，x∈[1,2]．
－
(3)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.又f(x)是以4为周期的周期函数． ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝f(2 016)＝f(0)＝0.
【同步训练】
【一级目标】基础巩固组
1． 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝1＋x2 1C．y＝2x＋x
2
1
B．y＝x＋
xD．y＝x＋ex
22【解析】A选项定义域为R，由于f(－x)＝1＋?－x?＝1＋x＝f(x)，所以是偶函数．B选项定义域为
111－
{x|x≠0}，由于f(－x)＝－x－＝－f(x)，所以是奇函数．C选项定义域为R，由于f(－x)＝2x＋－x＝x＋2x
x221－
＝f(x)，所以是偶函数．D选项定义域为R，由于f(－x)＝－x＋ex＝x－x，所以是非奇非偶函数．
e
答案：D
2．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有A．f(3) 【解析】∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，又∵函数，∴f(1) 答案：B 3．(2014·高考湖南卷)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( ) A．－3 C．1 B．－1 D．3 B．f(1) f?x2?－f?x1? >0(x1，x2∈[0，＋∞))，∴f(x)是[0，＋∞)上的增 x2－x1 f?x2?－f?x1? >0，则( ) x2－x1 3232 【解析】∵f(x)－g(x)＝x＋x＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x＋x＋1. ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)． ∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1. 答案：C 4．(2015·高考课标卷Ⅱ)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________. 解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立， ∴－xln(－x＋a＋x2)－xln(x＋a＋x2)＝0恒成立，∴xln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1. 答案：1 5．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 3 【解析】∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝x＋1， ∴当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)， 即x<0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1. 答案：－－x－1 6．已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________. 解析：由g(x)＝f(x)＋9，故g(－2)＝f(－2)＋9＝3，∴f(－2)＝－6. 又∵f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－6，∴f(2)＝6. 答案：6 7．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围． 【解析】由f(m)＋f(m－1)>0，得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m) 又∵f(x)在[0,2]上单调递减且f(x)在[－2,2]上为奇函数，∴f(x)在[－2,2]上为减函数， ? ∴?－2≤m≤2，??1－m>m， 1解得－1≤m<. 2 ?－2≤1－m≤2， ?－2≤m≤2，即? 1m 8．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围． x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)， 【解析】(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1· ∴f(1)＝0. 1 (2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0. 2 令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数， ∴f(x－1)<2?f(|x－1|) A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数 【解析】易知函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sin x|＝lg|sin x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y＝|sin x|的最小正周期为π，所以函数f(x)＝lg|sin x|是最小正周期为π的偶函数． 答案：C 2. 已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为( ) A．－1 4 B．0