发布时间 : 星期四 文章数字信号处理实验 matlab版 快速傅里叶变换(FFT)更新完毕开始阅读
>> D=2*pi*Fs/N; %计算模拟频率分辨率
>> k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2); %频率显示范围对应 [－p,p] >> X=fftshift(fft(xn,N)); %作FFT运算且移位p >> subplot(1,2,1);plot(k*D,abs(X)); %横轴化成模拟频率作幅度谱 >> title('幅度频谱');xlabel('rad/s'); >> subplot(1,2,2);plot(k*D,angle(X)); >> title('相位频谱');xlabel('rad/s');
%横轴化成模拟频率作相位谱
此时程序执行的结果如图14-3所示。由图可以看出，图形的分辨率提高，曲线几乎是连续的频谱了。
幅度频谱10860420-500rad/s50-2-4-5042相位频谱0rad/s50
图14-3 将例14-2有限长序列末尾补0到N＝1000时的频谱
(3)实偶序列如何补0
例14-4 已知一个矩形窗函数序列为
??1x(n)??0??n?5n?5
采样周期Ts＝0.5 s，要求用FFT求其频谱。
解 由于该序列是一个实的偶序列，因而补0时需要仔细分析。假定按N＝32补0，则主值区域在n＝0～31，FFT的输入应为
Xn＝[ones(1，6)，zeros(1,N－11),ones(1,5)]
即原来n=[－5：－1]的前五个点移到n＝[27：31]中去了。
下面考虑分别用N=32，64，512，观察不同N值代入对频谱的影响。
程序如下，
>> Ts=0.5;C=[32,64,512]; %输入不同的N值
>> for r=0:2; >> N=C(r+1);
>> xn=[ones(1,6),zeros(1,N-11),ones(1,5)]; >> D=2*pi/(N*Ts);
>> k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2);
>> X=fftshift(fft(xn,N));
>> subplot(3,2,2*r+1);plot(k*D,abs(X)); >> subplot(3,2,2*r+2);stairs(k*D,angle(X));
%幅度频谱 %相位频谱
%建立x(n)
>> end
注意：此处相位频谱使用了stairs，因为该相位频谱变化率比较陡峭。
程序执行结果如图14-4所示。
20100-1020100-1020100-10420-10420-1050-5-10-50510-50510-50510-50510-50510-50510图14-4 将例14-4有限长序列补0到N＝32、64、512时的频谱
如果将x(n)的输入写成
xn=[ones(1,11),zeros(1,N-11)];%建立x(n－5)
相当于起点不是取自n＝0而是n＝－5，计算的是x(n－5)的频谱。幅度频谱不受影响，相位频谱引入一个线性相位－5w，如图14-5所示。
15421005-20-10-4-10-50510-50510图14-5 将有限长位移序列x(n－5)补0到N＝512时的频谱
4、用FFT计算无限长序列的频谱
用FFT进行无限长序列的频谱计算，首先要将无限长序列截断成一个有限长序列。序列长度的取值对频谱有较大的影响，带来的问题是引起频谱的泄漏和波动。
例14-5 已知一个无限长序列为
?0.5n??ex(n)????0n?0n?0
采样频率Fs＝20 Hz，要求用FFT求其频谱。
解 MATLAB程序如下：
>> Fs=20;C=[8,16,128]; %输入不同的N值
>> for r=0:2;
>> N=C(r+1); >> n=0:N-1;
>> xn=exp(-0.5*n);%建立x(n) >> D=2*pi*Fs/N;
>> k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2); >> X=fftshift(fft(xn,N));
>> subplot(3,2,2*r+1);plot(k*D,abs(X)); >> axis([-80,80,0,3]);
>> subplot(3,2,2*r+2);stairs(k*D,angle(X)); >> axis([-80,80,-1,1]); >> end
运行结果如图14-6所示。
321032103210-50050-50050-5005010-110-110-1-50050-50050-50050
图14-6 将无限长序列截断为N＝8，16，128时的频谱
由图14-6可见，N值取得越大，即序列保留得越长，曲线精度越高。
例14-6 用FFT计算下列连续时间信号的频谱，并观察选择不同的Ts和N值对频谱特性的影响。
xa(t)＝e－0.01t(sin2t＋sin2.1t＋sin2.2t) t≥0
解 该题选择了三个非常接近的正弦信号，为了将各频率成分区分出来，在满足奈奎斯特定理的条件下确定采样周期，选择三组数据，分别是Ts＝0.5 s、0.25 s和0.125 s；再确定N值，分别选择N＝256和2048。观察不同Ts和N的组合对频谱的影响。
程序如下：
>> T0=[0.5,0.25,0.125,0.125]; %输入不同的Ts值 >> N0=[256,256,256,2048];%输入不同的N值 >> for r=1:4;
>> Ts=T0(r);N=N0(r);%赋Ts和N值 >> n=0:N-1;
>> D=2*pi/(Ts*N);%计算模拟频率分辨率
>> xa=exp(-0.01*n*Ts).*(sin(2*n*Ts)+sin(2.1*n*Ts)+sin(2.2*n*Ts));
>> k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2);
>> Xa=Ts*fftshift(fft(xa,N));
>> [r,Xa(1)]%输出Xa(1)的数值,供误差计算用 >> subplot(2,2,r);plot(k*D,abs(Xa),'k');
>> axis([1,3,1.1*min(abs(Xa)),1.1*max(abs(Xa))]); >> end
运行结果如图14-7所示。
403020101232520151051231510512340302010123图14-7 用FFT计算三个很靠近的谐波分量的频谱图
由图14-7可以得出以下结论：
N同样取256(如前三个图形)，当Ts越大时，时域信号的长度L＝NTs保留得越长，则分辨率越高，频谱特性误差越小；反之，则分辨率越低，频谱特性误差越大，甚至丢失某些信号分量。
Ts相同(如后两个图形)，当N越大时，在［0，2p］范围内等间隔抽样点数越多，且时域信号的长度L＝NTs保留得越长，则分辨率越高，频谱特性误差越小；反之，当N越小时，在［0，2p］范围内等间隔抽样点数越少，则有可能漏掉某些重要的信号分量，称为栅栏效应。
五、实验过程
1 已知有限长序列x(n)＝［1，0.5，0，0.5，1，1，0.5，0］，要求： (1)用FFT算法求该时域序列的DFT、IDFT的图形；
(2)假定采样频率Fs＝20 Hz，序列长度N分别取8、32和64，使用FFT来计算其幅度频谱和相位频谱。
解 MATLAB程序如下：
>> xn=[1,0.5,0,0.5,1,1,0.5,0]; >> N=length(xn); >> n=0:N-1;k=0:N-1;
>> Xk=fft(xn,N);
>> subplot(2,1,1);stem(k,abs(Xk)); >> title('Xk=DFT(x(n))'); >> xn1=ifft(Xk,N);
>> subplot(2,1,2);stem(n,xn1); >> title('x(n)=IDFT(Xk)');