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第八章
习题8
?8-1．如图所示，金属圆环半径为R，位于磁感应强度为B的均匀磁场
中，圆环平面与磁场方向垂直。当圆环以恒定速度v在环所在平面内运动时，求环中的感应电动势及环上位于与运动方向垂直的直径两端a、b间的电势差。
解：（1）由法拉第电磁感应定律?i??d?dt?，考虑到圆环内的磁通量不变，所以，环中的感
应电动势?i?0； （2）利用：?ab??ab???(v?B)?dl，有：?ab?Bv?2R?2BvR。
【注：相同电动势的两个电源并联，并联后等效电源电动势不变】
8-2．如图所示，长直导线中通有电流I?5.0A，在与其相距d?0.5cm 处放有一矩形线圈，共1000匝，设线圈长l?4.0cm，宽a?2.0cm。 不计线圈自感，若线圈以速度v?3.0cm/s沿垂直于长导线的方向向右 运动，线圈中的感生电动势多大？
解法一：利用法拉第电磁感应定律解决。
???0I首先用?求出电场分布，易得：， B?B?dl??I0??l2?rx?ax则矩形线圈内的磁通量为：????0I2?r1?ldr??0Il2?dxdtlnx?ax，
由?i??Nd?dt，有：?i??N?0Il2?(x?a?1x)?
∴当x?d时，有：?i?N?0Ilav2?(d?a)?1.92?10?4V。
解法二：利用动生电动势公式解决。
???0I由?求出电场分布，易得：， B?B?dl??I0??l2?r考虑线圈框架的两个平行长直导线部分产生动生电动势， 近端部分：?1?NB1lv， 远端部分：?2?NB2lv，
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则：???1??2?N?0I2?N?0Ialv11(?)lv??1.92?10?4V。 dd?a2?d(d?a)8-3．如图所示，长直导线中通有电流强度为I的电流，长为l的金属棒ab与长直导线共面
?且垂直于导线放置，其a端离导线为d，并以速度v平行于长直导线作匀速运动，求金属棒中的感应电动势?并比较Ua、Ub的电势大小。 解法一：利用动生电动势公式解决：
??0I??d??(v?B)?dl?v?dr，
2?r∴????0vI2??d?lddrr???0vI2?lnd?ld，
由右手定则判定：Ua >Ub。
解法二：利用法拉第电磁感应定律解决。 作辅助线，形成闭合回路abb'a'，如图， ??ydrd?ld?S??B?dS??d?ld?0I2?rydr??0Iy2?ln，
a'b'r?0Ivd?ld?ldy∴???。 ??ln???lndt2?ddt2?dd??0I由右手定则判定：Ua >Ub。
8-4．电流为I的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为120， 几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度v平行于长直 导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。 解法一：（用等效法）连接AO、OB，圆弧形导线与AO、OB 形成闭合回路，闭合回路的电动势为0，所以圆弧形导线电动势与 AOB直导线的电动势相等。 ?AO??0Iv2R?Iv??0??(v?B)?dl???dx??ln2，
R2?x2?5??0Iv5R?Iv??0??(v?B)?dl???2dx??ln，
2R2?x2?4??BAOB?OBA?O∴?AB??AO??OB???0Iv2?ln52。
解法二：（直接讨论圆弧切割磁感应线）从圆心处引一条半径线，与水平负向夹角为?，那么，B??0I2?x??0I2?(2R?Rcos?)??0I2?R(2?cos?)10
???，再由???(v?B)?dl有：
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2?d??B?Rd??vsin?，∴????30?0I2?R(2?cos?)?Rvsin?d????0Iv2?ln52。
8-5．有一长直螺线管，每米有800匝，在管内中心放置一绕有30圈的半径为1cm的圆形小回路，在1/100s时间内，螺线管中产生5A的电流，问小回路中的感应电动势为多少？ 解：长直螺线管内部的磁场为： B1??0n1I1 由题意：
穿过小回路的磁通量为： ?m2?N2B1S2 小回路中的感应电动势为：
??d?mdt??0n1N2S2?7dI1dt?51/100?500A/s
dI1dt?4
?500?4.74?10?3?4??10?800?30???10V
8-6．电阻为R的闭合线圈折成半径分别为a和2a的两个圆，如图所示，将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内，磁感应强度按
B?B0sin?t的规律变化。已知a?10cm，B0?2?10?2T，
??50rad/s，R?10?，求线圈中感应电流的最大值。
解：由于是一条导线折成的两个圆，所以，两圆的绕向相反。
?i??d?dt??dBdt2(???4a??a)?3?aB0?cos?t，
222∴I??iR?3?aB0?cos?tR22
Imax?5πaB0ωR?3π?0.1?2?1010?2?50?9.42?10?3A。
8-7．直导线中通以交流电，如图所示， 置于磁导率为? 的介质中， 已知：I?I0sin?t，其中I0、?是大于零的常量，求：与其共面的 N匝矩形回路中的感应电动势。
???0I解：首先用??lB?dl??0?I求出电场分布，易得：B?2?x，
d?ad则矩形线圈内的磁通量为：????0I2?r?ldr??0Il2?lnd?ad??0I0l2?sin?tlnd?ad，
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N?0I0ld?d?a???cos?tln∴???N。 dt2?d
8-8．如图所示，半径为a的长直螺线管中，有
dBdt?0的磁场，一直导线弯成等腰梯形的闭
合回路ABCDA，总电阻为R，上底为a，下底为2a，求：（1）AD段、BC段和闭合回路中的感应电动势；（2）B、C两点间的电势差UB?UC。 解：（1）首先考虑?OAD，S?OAD?d?dtdBdt3412a?32a?34a，
2∴?感1??而?感1?∴?AD????S?OAD??a?2dBdt，
??l??E涡?dl?32?AO??E涡?dl??OD??E涡?dl??AD??E涡?dl??DA??E涡?dl??DA
4a?dBdt；
1?2?2dB?a，∴?感2??a?， 236dt再考虑?OBC，有效面积为S扇OAD?同理可得：?BC??6a?2dBdt；
?6?34)a?2那么，梯形闭合回路的感应电动势为：???BC??AD?(dBdtR5，逆时针方向。 ，
（2）由图可知，AB?CD?a，所以，梯形各边每段a上有电阻r?3adB?(?)?回路中的电流：I?，逆时针方向； R64Rdt??2那么，UB?UC?I?2r??BC?I?2??32dBR??BC??()a?。 510dt
?38-9．在长为60cm、直径为5.0cm的空心纸筒上绕多少匝线圈才能得到自感为6.0?10H的线圈？
解：设需绕N匝线圈，当通以电流I时，通过螺线管线圈的磁通量为
?m?NBS?N?0NlIS??0Nl2Nl2IS
由自感的定义可得：L?因此有： N?(
?mI??0S
????1/2Ll?0S)1/2?3?6?10?0.6???4??10?7???0.025?2?1209匝
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