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第八章 向量
1、向量的概念：
既有大小又有方向的量，注意向量和数量（或标量）的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段。向量不能比较大小。 2、向量的表示：
????示，如AB，注意起点在前，终点在后；若A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB??x2?x1,y2?y1?，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴
???方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a?xi?yj??x,y?，称?x,y?为向量a的
坐标，a＝?x,y?叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3、向量的模
（1）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；（2）几何表示法：用带箭头的有向线段表
??2?22222向量的模：|a|?x?y,a?|a|?x?y。实数和复数有类似性质么？
两点间的距离：若A?x1,y1?,B?x2,y2?，则|AB|??x2?x1???y2?y1?22。
相等向量：
几何表示：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 代数表示：对应坐标相等。 4、负向量与零向量
零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；规定零向量和任何向量平行。 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。 5、平行向量
平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b。
注意：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个
?概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；
????????④三点A、B、C共线?AB、 AC共线?kAB?kAC（斜率存在时）?两条长度小的线段长之和等于长度最大的
线段。
向量平行(共线)的充要条件：
向量平行且方向相同（或相反）的充要条件： 6、单位向量
????????AB)。 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是?????|AB|注意：与a共线（或垂直）的向量有多少个，共线（或垂直）的单位向量有多少个？
7、向量的加减法
????设a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则：a?b?(x1?x2，y1?y2)。
A0A1?A1A2?A2A3?????An?1An?
注意：一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量。 性质：①向量加法的交换律：a+b=b+a；
②向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)
????????③向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：a ?b= a+ (?b)； ????BA差向量的意义： OA= a, OB=b, 则=a? b
8、平行四边形与三角形法则
①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量
??????????????????????????????加法还可利用“三角形法则”：设AB?a,BC?b，那么向量AC叫做a与b的和，即a?b?AB?BC?AC；
????????????????????????②向量的减法：用“三角形法则”：设AB?a,AC?b,那么a?b?AB?AC?CA，由减向量的终点指向被减
向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。 10、向量和与差的模的不等式
??????||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
?????????????特别地，当a、 b同向或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|；当a、 b反向或有????????????????? b不共线?||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|(这些和实数比较类似). 0?|a?b|?|a?|?b||a|?|b|?|a|?|；当ba、??实数?与向量a的积是一个向量，记作?a，与a平行。它的长度和方向规定如下：?1??a??a,?2?当?>0
10、实数与向量的乘积
??时，?a的方向与a的方向相同，当?<0时，?a的方向与a的方向相反，当?＝0时，?a?0，注意：?a≠0。
??a???x1,y1????x1,?y1?。
性质：实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 11、定比分点
???????????的定比分点； 段PP12所成的比，P点叫做有向线段PP12的以定比为
（1）?的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段 P1P2上时??>0；当P点在线段 P1P2的延长线上时??<－1；当P点在线段P2P1的延长线上时??1???0。
注意：???1。
x1??x2?x????????1???P(x,y)（2）线段的定比分点公式：设P、，分有向线段所成的比为，则，(x,y)P(x,y)PP?11122212y??y2?y?1?1???x1?x2?x???2?特别地，当?＝1时，就得到线段P1P2的中点公式。（此公式如何推导） ?y?y1?y2??2在使用定比分点的坐标公式时，应明确(x,y)，(x1,y1)、(x2,y2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比?。
（3）重心公式：在?ABC中，①若A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，则其重心的坐标为 ； 推论：
????????设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实数? ，使PP??PP2，则?叫做点P分有向线1?????????????????????????????1①PG?(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心，特别地PA?PB?PC?0?P为?ABC的重心； 3????????????????????????②PA?PB?PB?PC?PC?PA?P为?ABC的垂心；
????????ACAB??????)(??0)所在直线过?ABC的内心(是?BAC的角平分线所在直线)； ③向量?(???|AB||AC|④P为?ABC的外心?PA?PB?PC；
222?????????????????????????*⑤|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P?ABC的内心；
12、两向量的数量积
????????????????????????*⑥向量PA、 PB、 PC中三终点A、B、C共线?存在实数?、?使得PA??PB??PC且????1。 ??如果两个非零向量a，b，它们的夹角为?，我们把数量|a||b|cos?叫做a与b的数量积（或内积或点积），
??????记作：a?b，即a?b＝abcos?，|a?b|?|a||b|。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个
实数，不再是一个向量。 与b在a上的投影的积。
14、向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为?，则：
??13、b在a上的投影为|b|cos?，它是一个实数，但不一定大于0。a?b的几何意义：数量积a?b等于a的模|a|???????2???2??2①a?b?a?b?0；②当a，b同向时，a?b＝ab，特别地，a?a?a?a,a?a；当a与b反
??????向时，a?b＝－ab；③当?为锐角时，a?b＞0，且a、 b不同向，a?b?0是?为锐角的必要非充分条件；当???????为钝角时，a?b＜0，且a、 b不反向，a?b?0是?为钝角的必要非充分条件；④a?b?x1x2?y1y2。
??????????（1）交换律：a?b?b?a，??a?????a，a?b?b?a；
??????????????????（2）结合律：a?b?c?a?b?c,a?b?c?a?b?c，?a?b??a?b?a??b；
??????????????（3）分配律：?????a??a??a,?a?b??a??b，a?b?c?a?c?b?c。
向量的运算律：
????????????????两个向量的运算与两个实数、两个复数运算的区别？
例、下列命题中：① a?(b?c)?a?b?a?c；② a?(b?c)?(a?b)?c；③ (a?b)?|a|?2|a|?|b|?|b|；④
???????????????2?2?2?2?2a?bb若a?b?0，则a?0或b?0；⑤若a?b?c?b,则a?c；⑥a?a；⑦?2??；⑧(a?b)?a?b；
aa???????????????2?2???2??2?2???2⑨(a?b)?a?2a?b?b。其中正确的是______。
15、两个向量所成角
??????????对于非零向量a，b，作OA?aO,B?b，?AOB???0?????称为向量a，b的夹角，当?＝0时，a，b?同向，当?＝?时，a，b反向，当?＝时，a，b垂直。
2非零向量a，b夹角?的计算公式：
注意：两向量所成角必须同起点时所成角。 16、向量垂直
向量垂直的充要条件：
????????????????ABACABAC特别地(?????????)?(?????????)。
ABACABAC?17、向量的分解定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ
2
使a=λ1e1+λ2e2。(1)不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基；(2)基不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基e1、e2的条件下进行分解；(4)基给定时，分解形式惟一. λ1，λ唯一确定的数量。
注：此定理可作为两个向量共线的判断依据。 18、平移
??2是被
?a，e1，e2?如果点P(x,y)按向量a??h,k?平移至P(x?,y?)，表示为横坐标x增加了h个单位，纵坐标增加了k个单位，
x??x?h则?； ??y??y?k?函数y?f(x)按向量a??h,k?平移，表示横坐标x增加了h个单位，纵坐标增加了k个单位，图像向右平移了h个单位再向上平移了k个单位，得y?f(x?h)?k；
?曲线f(x,y)?0按向量a??h,k?平移，表示横坐标x增加了h个单位，纵坐标增加了k个单位，图像向右平移了h个单位再向上平移了k个单位，得曲线f(x?h,y?k)?0。
注意：向量按照向量平移，坐标不会改变。 总结：什么是传递性；交换律、结合律、分配律？
第九章 矩阵
1、 矩阵的概念
数域P上由m?n个数aij（i?1,2,???,n）排成m行n列数表
?a11??a21??????a?m1a12a22??am2???a1n?????a2n??? ??????amn??称为m行n列矩阵，或称m?n阶矩阵，简记为(aij)m?n或(aij)，其中aij(i?1,2,???,m;j?1,2,???,n)称为该矩阵中第i行第j列的元素。
矩阵通常用大写字母A,B,C等来表示。若矩阵用A来表示，则可记为
A?Am?n?(aij)m?n?(aij)
2、 系数矩阵、增广矩阵
由m个含有n个未知量x1,x2,???,xn的方程组成一个方程组
?a11x1?a12x2?????a1nxn?b1?ax?ax?????ax?b?2112222nn2 ???????am1x1?am2x2?????amnxn?bm令
?a11??a21A???????a?m1a12a22??am2???a1n?????a2n???， ??????amn??称为方程组的系数矩阵。
注：系数矩阵的列数由未知数的个数决定，行数由方程组的个数决定。
在系数矩阵最后再加一列