发布时间 : 星期四 文章圆锥曲线必杀技更新完毕开始阅读
将y1?y2?y22化简得(x?6)?y?4．当AB与x轴垂直时，(x1?x2)代入上式，
x?8x1?x2?2，求得M(8， 0)，也满足上述方程．所以点M的轨迹方程是(x?6)2?y2?4．
方法二：同方法一得??x1?x2?x?4，．当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是
y?y?y?12222222代入x?y?2有(1?k)x?4kx?(4k?2)?0．则x1，x2是y?k(x?2)(k??1)．
4k2上述方程的两个实根，所以x1?x2?2．
k?1?4k2?4k． y1?y2?k(x1?x2?4)?k??4??2k?1k?1??4k24k由①②③得x?4?2 ………④ ， y?2 ………⑤
k?1k?1当k?0时，y?0，由④⑤得，
x?4?k，将其代入⑤有yx?44y(x?4)y22(x?6)?y?4． ．整理得y??222(x?4)(x?4)?y?1y24?0)，满足上述方程． 当k?0时，点M的坐标为(4，0)，也满足上述方程． 当AB与x轴垂直时，x1?x2?2，求得M(8，故点M的轨迹方程是(x?6)?y?4．
220)，使CACB为常数． (2)方法一：假设在x轴上存在定点C(m，当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y?k(x?2)(k??1)．代入x?y?22222有(1?k)x?4kx?(4k?2)?0．则x1，x2是上述方程的两个实根，所以
22
4k24k2?2x1?x2?2，x1x2?2，于是
k?1k?1CACB?(x1?m)(x2?m)?k2(x1?2)(x2?2)
?(k2?1)x1x2?(2k2?m)(x1?x2)?4k2?m2
(k2?1)(4k2?2)4k2(2k2?m)22???4k?m 22k?1k?12(1?2m)k2?24?4m2??m?2(1?2m)??m2． 22k?1k?1因为CACB是与k无关的常数，所以4?4m?0，即m?1，此时CACB=?1．当AB，2，)(2，?2)，此时与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为(2CAC?B(1，2)，(?1?2)?1x轴上存在定点C(1，0)，使CACB为常数． ．故在
0)，使CACB为常数，当AB不与x轴垂直方法二：假设在x轴上存在定点点C(m，4k24k2?2时，由(1)的方法二知x1?x2?2?1，x1x2?2．以下同方法一．
kk?1
必杀技： 遵循“一选、二求、三定点”的原则
本节的注意事项参见典型考法2，这里不再赘述．本例实质上反映了圆锥曲线焦点弦
x2y2的一个性质，将双曲线x?y?2推广到一般双曲线2?2?1，便有下面的结论：
ab22结论1：
若将双曲线换为椭圆或抛物线，则有类似结论：
结论2：
结论3：
读者自行完成可以上结论，在此不再赘述．在平时的解题中，我们在掌握问题的基本求解方法后，还有必要对问题进行联想、类比和推广，搞清问题的内涵和外延，挖掘出问题的本质特征，触类旁通，这样才能充分发挥问题的知识功能，不断提高自己分析问题和解答问题的能力．
实战演练
1．已知F点P满足PF． ，0?，的轨迹为E，1??2,0?,F2?21?PF2?2,记点P(1)求轨迹E的方程；
1)，直线与轨迹E交于P、Q两点． (2)若直线l过点F2且法向量为n?(a，①过P、Q作y轴的垂线PA、QB,垂足分别为A、B,记|PQ|??|AB|，试确定
??的取值范围；
②在x轴上是否存在定点M，无论直线l绕点F2怎样转动，使MP?MQ?0恒成立？如果存在，求出定点M；如果不存在，请说明理由．
x2y2??1（b为正常数）上任一点，F2为双曲线的2．已知点P1(x0,y0)为双曲线
8b2b2右焦点，过P1作右准线的垂线，垂足为A，连接F2A并延长交y轴于P2．
w．w．w．．(1)求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程；
（x1,y1）(y1?0)，直线(2)设轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点QQB，QD分别交y轴于M，N两点．求证：以MN为直径的圆过两定点．
x2y2??1上的两个动点，满足OA?OB?0． 3．A、B为双曲线49(1)求
1OA2?1OB2的值；
(2)动点P在线段AB上，满足OP?AB?0，试问点P能否在定圆上．
参考答案：
y2?1(x?1). 1．(1) x?32 (2) ①(1，23). 提示：由直线l的方程与双曲线方程联立并利用韦达定理可得3??2|PQ|1，故??(1,3)． ?1?2（a2?3）
3|AB|a②存在定点M(?1，0)满足条件． 提示：设存在点M(m,0)满足条件，同①可得
3?(4m?5)a22MP?MQ??m?0，得3(1?m2)?a2(m2?4m?5)?0对任意2a?3?1?m2?0a?3恒成立，所以?2，解得m??1．
m?4m?5?0?2x2y2??1. 2．(1)
2b225b2(2) 提示：不妨设B(?2by10)，则易得M(0，2b，0，)D(2b，)，
x1?2b为直径的圆的方程为：
?2by1N(0，)，于是，以MNx1?2b22by12by12b2y122（x1,y1）x?(y?)(y?)?0，令y?0得：x?2，而Q在2x?2bx1?2bx1?2b1x2y22222??1x?2b?y1，所以x??5b，即以MN为直径的圆过两定点上，则12b225b225