发布时间 : 星期日 文章数值分析 函数逼近与曲线拟合更新完毕开始阅读
原变量按最小二乘原则求得拟合函数是不同的。但由于实际计算时，人们主要关心的是问题的简化，就把两者较小的差别忽略了。
（2）以上我们是通过描点观察或经验估计来确定拟合函数的形式，更一般的拟合函数的选择问题，请参考冯康所编著的《数值分析》。 （3）当
n?3时，最小二乘法的正则方程组一般是病态的，n愈大病态情形更严重。为了避
f(x)与g(x)的内积为
(?j,?k)???i?j(xi)?k(xi)
mi?1免求解病态方程组，我们必须引入点集上的正交函数族。
对离散和连续两种情形，通过引进内积与范数的概念，将它们统一起来。在离散情形，我们定义函数
在连续情形，则定义函数
f(x)与g(x)的内积为
ba(f,g)???(x)f(x)g(x)dx
容易验证以上两种均定义了内积空间。
注：对离散情形，说
f(x)?0是指f(x)在点x1,,xn不全为零。
2）点集上的正交函数拟合
,?n在点集X?{xi,i? 0,1,,m}上满足
m?0, j?k(?j,?k)???(xi)?j(xi)?k(xi)?? (2.4)
i?0?Ak?0,j?k,?n为带权?(x)关于点集X的正交函数族。 则称?0,?1,,?n为点集X上的正交函数族，则法方程为 如果?0,?1,Ga?d
定义8若函数族其中
?0,?1,?a0??(f,?0)??(?0,?0)?????a?,d?,G??????????an???(f,?n)???0
17
?? (2.5) ?(?n,?n)??0因此拟合函数为
S(x)??a?k(x) (2.6)
**kk?0其中
n?f,?k*ak???k,?k?平方误差为
?(x)f(x)?(x)???,k?0,1,iikii?02?(x)??ik(xi)i?0mm,n (2.7)
?22?(f??a?k,f??a?k)
*k*kk?0nn?f通过Schmidt方法，可构造下列多项式系（
22??Ak(a)k?0k?0n*2 (2.8) kn?m）
?P0(x)?1,P1(x)?x??1??Pk?1(x)?(x??k?1)Pk(x)??kPk?1(x) (2.9) ? (k?1,2,,n?1)?,m)为权关于点集{x0,x1,,xm}的正交函数族，其中 是以?i(i?0,1, 18
m?2?(x)xP?iik(xi)?xPk,Pk?i?0???k?1??m,k?0,1,,n?1?Pk,Pk?2??(x)P?ik(xi)??i?0 (2.10) ?m2??(x)P?ik(xi)Pk,Pk???i?0???,k?1,,n?1?km?Pk?1,Pk?1?2??(x)P?ik?1(xi)?i?0?注：1）条件
n?m保证分母??(xi)P(xi)?0，k?0,1,2ki?0m,n。因
Pk(x)最高是n次多项式，最多有n个根。
,m}的正交多项式族是一个有穷的序列2）关于点集X?{xi,i?0,1,1,P,Pm(x)。事实上，如果m?1个非零向量 1(x),TVi?(P(x),P(x),,P(x)),i?0,1,,m i0i1im,Vm是m?1维空间的基向量，因此任何一个与它们都正交的互相正交，那么V0,V1,,m。于是 向量必然是零向量，即Pm?1(xi)?0,i?0,1,为分母中的
2?(x)P?im?1(xi)?0 i?0这就意味着多项式
mPm?1(x)不再满足正交性。
下面用归纳法证明这样给出的由对称性，不妨设
s?l。由(2.9)及(2.10)，显然
{Pk(x)}是正交的，即(Pl,Ps)?0 (l?s)。
19
(P1,P0)?((x??1)P0,P0) (xP0,P0)?(xP0,P0)?(P0,P0)?0(P0,P0)假设
l?k,s?l命题成立，那么当l?k?1时
(Pk?1,Ps)?((x??k?1)Pk,Ps)??k(Pk?1,Ps)由归纳法假定，当
0?s?k?2时
?(xPk,Ps)??k?1(Pk,Ps)??k(Pk?1,Ps)(2.11)
(Pk,Ps)?0， (Pk?1,Ps)?0
,Ps?1的线性组另外，xP它可由Ps(x)是首项系数是为1的s?1次多项式，0,P1,合表示，而s?1?k?1，故由归纳法假定又有
(xPk,Ps)?(Pk,xPs)?0
于是由式(2.11)，当s?k?2时，(Pk?1,Ps)?0。
当s?k?1时，由式(2.9)及归纳假设得
(Pk?1,Pk?1)?(xPk,Pk?1)??k?1(Pk,Pk?1)??k(Pk?1,Pk?1)
?(xPk,Pk?1)??k(Pk?1,Pk?1) (2.12)
由假设
(xPk,Pk?1)?(Pk,xPk?1)?(Pk,Pk??cjPj)?(Pk,Pk)
j?0于是
k?1(Pk?1,Pk?1)?(Pk,Pk)??k(Pk?1,Pk?1)?0。当s?k时，有 (Pk?1,Pk)?(xPk,Pk)??k?1(Pk,Pk)??k(Pk,Pk?1)?(xPk,Pk)??k?1(Pk,Pk)(xPk,Pk)?(xPk,Pk)?(Pk,Pk)?0(Pk,Pk)至此已证明了由(2.9)及(2.10)确定的多项式组成一个关于点集{xi}的正交系。
20