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三角函数的图像和性质
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法):
正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0) (余弦函数y=cosx x?[0,2?]的图像中,五个关键点是:(0,1) (2、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 函 数 y?sinx 性 质 ?3?,1) (?,0) (,-1) (2?,0) 22?3?,0) (?,-1) (,0) (2?,1) 22y?cosx y?tanx 图象 定义域 值域 当 R R ???xx?k??,k???? 2????1,1? x?2k????1,1? 时,当x?2k?时, R ?2?最ymax?1;当x?2k?? 值 2时,y??1. min时,ymin??1. 周期性 奇偶性 ymax?1;当x?2k??? 既无最大值也无最小值 2? 2? ? 奇函数 偶函数 奇函数 在?2k?????2,2k???? ?2?在?2k???,2k??上是增函在?k??单上是增函数; 数; 调?3??在?2k?,2k????上是减函性 ?在?2k??,2k??? ???2,k????? 2??22?上是增函数. 数. 上是减函数. 对对称中心?k?,0? 称?性 对称轴x?k?? 对称中心?k??对称轴x?k? - 1 -
????,0? 2?对称中心?无对称轴 ?k??,0? ?2?2
例作下列函数的简图
(1)y=|sinx|,x∈[0,2π], (2)y=-cosx,x∈[0,2π]
例利用正弦函数和余弦函数的图象,求满足下列条件的x的集合:
(1)sinx?
11(2)cosx?2 2
3、周期函数定义:对于函数y?f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有:f(x?T)?f(x),那么函数y?f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。 注意: 周期T往往是多值的(如y?sinx 2?,4?,…,-2?,-4?,…都是周期)周期T中最小的正数叫做
y?f(x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期)y?sinx, y?cosx的最小正周期为2? (一
般称为周期)
正弦函数、余弦函数:T?2??。正切函数: ??例求下列三角函数的周期:
1? y=sin(x+
x??) 2? y=cos2x 3? y=3sin(+) 4? y=tan3x
253例求下列函数的定义域和值域: (1)y?2?sinx (2)y?
- 2 -
?3sinx (3)y?lgcosx
例5求函数y?sin(2x??3)的单调区间
例不求值,比较大小 ??23?17?)、sin(-); (2)cos(-)、cos(-). 181054???3??23?23?解:(1)∵-<-<-<. (2)cos(-)=cos=cos
101825255??17?17??且函数y=sinx,x∈[-,]是增函数 cos(-)=cos=cos
22444???3?∴sin(-)<sin(-) ∵0<<<π
101854??即sin(-)-sin(-)>0 且函数y=cosx,x∈[0,π]是减函数
18103??∴cos<cos
543??即cos-cos<0
5423?17?∴cos(-)-cos(-)<0
54(1)sin(-
4、函数y??sin??x??????0,??0?的图像: (1)函数y??sin??x??????0,??0?的有关概念: ①振幅:?; ②周期:??(2) 振幅变换