发布时间 : 星期五 文章基于MATLAB的李雅普诺夫第二法稳定性分析更新完毕开始阅读
基于MATLAB的李雅普诺夫第二法稳定性分析
引言：对于一个给定的控制系统，稳定性是系统的一个重要特性。稳定性是系统正常工作的前提，是系统的一个动态属性。在控制理论工程中，无论是调节器理论、观测器理论还是滤波预测、自适应理，都不可避免地要遇到系统稳定性问题，而且稳定性分析的复杂程度也在急剧增长。当已知一个系统的传递函数或状态空间表达式时, 可以对其系统的稳定性进行分析；当系统的阶次较高时，分析、计算的工作量很大, 给系统的分析带来很大困难。运用MATLAB 软件，其强大的科学计算能力和可视化编程功能, 为控制系统稳定性分析提供了强有力的工具。 一． MATLAB 语言简介
MATLAB 是MATrix LABoratory 的缩写, 它是MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。它具有强大的矩阵计算能力和良好的图形可视化功能, 为用户提供了非常直观和简洁的程序开发环境, 因此被称为第四代计算机语言。MATLAB 发展至今, 现已集成了许多工具箱, 一般来说, 它们都是由特定领域的专家开发的, 用户可以直接是用工具箱学习、应用和评估不同的方法而不需要自己编写代码，大大提高了分析运算的效率，为此MATLAB 语言在控制工程领域已获得了广泛地应用。
二．控制系统稳定性的基本概念
稳定性是控制系统的重要特性, 也是系统能够正常运行的首要条件。如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施, 是自动控制理论的基本任务之一。1892年，俄国数学家李雅普诺夫（Lyaponov）提出了分析稳定性的两种方法。第一种方法，通过对线性化系统特征方程的根的分析情况来判断稳定性，称为间接法。此时，非线性系统必须先线性近似，而且只能使用于平衡状态附近。第二种方法，从能量的观点对系统的稳定性进行研究，称为直接法，对线性、非线性系统都适用。Lyaponov定义下的稳定性，是对任何系统都适用的关于稳定性的一般性定义。系统平衡态问题就是：偏离系统平衡态的受扰运动能否仅依靠系统内部的结构因素，就能使系统返回到初始平衡，或者使之限制在平衡态的有限邻域内。
三．Lyaponov第二法的稳定性判据
3.1 在现代控制理论中，李雅普诺夫第二方法是研究稳定性的主要方法，既是研究控制系统理论问题的一种基本工具，又是分析具体控制系统稳定性的一种常用方法。李雅普诺夫第二方法的局限性，是运用时需要有相当的经验和技巧，而且所给出的结论只是系统为稳定或不稳定的充分条件；但在用其他方法无效时，这种方法还能解决一些非线性系统的稳定性问题。
3.1.1 Lyaponov第二法又称直接法，从能量的观点来研究系统的稳定性问题。其基本思想是：系统所具有能量是状态矢量x的标量函数，且平衡状态具有的能量最小。进而通过能量函数V（x）和 的正负判断系统的稳定性。 3.2 设系统的状态方程为
对于线性定常系统，不失一般性，可把状态空间的原点作为系统的平衡状态。若找到一个单值标量函数 ，而且对状态矢量x的每个分量，均有连续一阶偏导 ；
存在。可据此判断系统的稳定性。 3.3 Lyaponov第二法的稳定性判据 3.3.1 判据一
设系统状态方程为 ， 是平衡状态，如果存在一个对t具有一阶连续偏导数的标量函数 ，且满足以下条件： （1） >0,是正定的； （2） <0,是负定的；
则系统在 处是渐进稳定的。
此外，若 ，有 ，则系统在 处大范围渐进稳定。 3.3.2 判据二 若 及其 满足
（1） >0,是正定的； （2） ≤0,半负定；
则系统在 处是渐进稳定的。
（3）此外，对任意初始时刻 时的任意状态 ，在t≥ 时，除在x= 时有 =0外， 不恒等于0。则系统在 处是渐进稳定的。如果进一步还有 ，有 ，则系统在 处是大范围渐进稳定。 ① ，运动轨迹将落在某个特定的曲面 =C上，而不会收敛至原点。这种情况可能对应于线性系统中作等幅震荡的临界稳定，或非线性系统中出现的极限环。
② 不恒等于0，运动轨迹只在某特定时刻与某个特定曲面 =C相切，运动轨迹通过切点后继续向原点收敛，因此，这种情况属于渐进稳定。
3.3.3 判据三
（1） >0,是正定的； （2） ≤0,是正定的； 则系统在 处是不稳定的。
（3）类似判据二，若除原点外 不恒为0，条件（2）可改为半正定。
3.3.4 几点说明
1）对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。
2）对于非线性系统能给出关于在大范围内稳定性的信息。 3）关于稳定性的条件是充分的，而不是必要的。
4）若不能找到合适的李雅普诺夫函数就不能得出该系统稳 定性方面的任何结论。 5）李雅普诺夫函数只能判断其定义域内平衡状态的稳定性。
6）如果系统的原点是稳定的或渐近稳定的，那么具有所要求性质的李雅普诺夫函数一定是存在的。
3.4 对于高阶对称矩阵，需要利用塞尔维斯特判据判断是否正定。
塞尔维斯特判据：正定（记作V（x）>0）的充要条件为P的所有主子行列式为正。如果P的所有主子行列式为非负，V（x）为半正定（记作V（x）≥0）；如果-V（x）为正定，则V（x）为负正定（记作V（x）<0）;如果-V（x）为半正定，则V（x）为半负定（记作 ）。
四．基于MATLAB利用Lyaponov第二法判断系统是否为大范围渐进稳定。
4.1 当运用Lyaponov第二法分析系统的稳定性时，可以利用以下函数系统的Lyaponov函数 Q=lyap（A,P），可用于求解线性定常连续的矩阵方程 P=dlyap（G，Q），可用于求解线性定常离散系统的矩阵方程 ，
由于lyap与dlyap函数的实际算法分别是 ， ，因此，求解时，需要将系统矩阵A或者P进行一次转置运算，才能得到正确结论。
4.2 例：
已知系统的状态方程为 ，试判断其稳定性。 取Q=I
A=[0 1 0;0 -2 1;-4 0 -1]; >> A=A';
>> Q=eye(3,3); >> P=lyap(A,Q) P =
21.5000 7.8750 0.1250 7.8750 4.1875 1.4375 0.1250 1.4375 1.9375 >> format rat >> P P =
43/2 63/8 1/8 63/8 67/16 23/16 1/8 23/16 31/16 det((P(1:2,1:2)))
ans =
1793/64 >> det(P)
ans =
1615/128
由塞尔维斯特判据，判断P为正定，系统渐进稳定，而系统的李雅普诺夫函数及其导数分别为
又因为 ，所以系统在平衡点处大范围渐进稳定。 五．结论
使用MATLAB 对系统的稳定性进行分析，简单方便且高效，大大减少了计算量。通过此次基于MATLAB运用李雅普诺夫第二法判断系统稳定性的分析，使我对控制系统的稳定性有了更深刻的理解，同时也使我对MATALB语言及其工具箱有了初步的认识。
参考文献：
[1]董景新，赵长德.控制工程基础（第三版），北京：清华大学出版社，2009 [2]张莲，胡晓倩.现代控制理论，北京:清华大学出版社：2008
[3]杨丽，肖冬荣.控制系统稳定性判据应用与MATLAB仿真,南京：2007 [4]刘祖萍，应用MATLAB函数分析控制系统稳定性，四川：2004