发布时间 : 星期四 文章河南省三门峡市外国语高级中学2020届高三模拟考试数学(文)试卷更新完毕开始阅读
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第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.
1.已知集合A={xx>1}，B={xx B．0 C．1 D．2 2.若“p:x?a”是“q:x?1或x??3”的充分不必要条件，则a的取值范围是（） A．a≥1 B．a≤1 C．a≥?3 D．a≤?3 3．当0＜x＜1时，下列大小关系正确的是（） A．x3＜3x＜logx33x33x B．3＜x＜log3x C．log3x＜x＜3 D．log3x＜3x＜x 4．已知双曲线C的中心为原点，点F?2,0?是双曲线C的一个焦点，点F到渐近线的距离为1，则C的方程为（） 22A．x2?y2?1 B．x2?y2?1 C．x?y2?1 D．x2233?y23?1 5．数列?an?满足a1?1，a2?3，an?1??2n???an?n?1,2,????，则a3?（） A．5 B．9 C．10 D．15 ?6．设变量x，y满足约束条件?2x?y?2≥0?x?2y?4≥0，则目标函数z?3x?2y的最小值为（） ??x?1≤0A．?6 B．?4 C．2 D．3 7．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作，书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（） A． 3?10 B． 3?20 C． ?20 D． ?10 8．将函数y?sin2x的图象向左平移?4个单位，再向上平移1个单位，得到f?x?的图象，则f?????2??为（） A．1 B．2 C．?1 D．0 9．已知函数f?x??1x?lnx?1，则y?f?x?的图象大致为（） A． B． C． D． 10．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时， 多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”，刘徽得到了 圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽 的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）． （参考数据：sin15??0.2588，sin7.5??0.1305） A．12 B．18 C．24 D．32 11．已知过抛物线y2?4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若uAFuuv?3uFBuuv，则直线l的斜 率为（） A．3 B．32 C． 12 D．2 12．已知函数f?x?????x?1，x≤0?，若方程f?x??a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x?log1?x2?x3?x4，则 2x，x?0x13?x1?x2??x2x的取值范围是（） 34A．??1,??? B．??1,1? C．???,1? D．??1,1? 第II卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．已知b为实数，i为虚数单位，若2?b?i1?i为实数，则b?________． 14．已知正项数列?a1n?的前n项和为Sn，若以?an,Sn?为坐标的点在曲线y?2x?x?1?上，则数列?an?的通项公式为________． 15．在△ABC中，uABuuv?uACuuv?uABuuv?uACuuv，AB?2，AC?1，E、F为BC的三等分点，则uAEuuv?uAFuuv?__________． 16．已知y?f(x)，x?R，有下列4个命题： ①若f(1?2x)?f(1?2x)，则f(x)的图象关于直线x?1对称； ②y?f(x?2)与y?f(2?x)的图象关于直线x?2对称； ③若f(x)为偶函数，且f(2?x)??f(x)，则f(x)的图象关于直线x?2对称； ④若f(x)为奇函数，且f(x)?f(?x?2)，则f(x)的图象关于直线x?1对称． 其中正确的命题为__________．（填序号） 三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知向量mr???13?r??2,?2??,n?sinx,cosx,x??????????3,2?? (1)若umr?rn，求x的值； (2)若向量umr?rn?15?3，求sin(2x?3)的值. 18．新高考取消文理科，实行“3?3”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在[15,45)称为中青年，年 龄在[45,75)称为中老年），并把调查结果制成下表： 年龄（岁） [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) 频数 5 15 10 10 5 5 了解 4 12 6 5 2 1 （1）请根据上表完成下面2?2列联表，并判断是否有95%的把握认为对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？ 了解新高考 不了解新高考 总计 中青年 中老年 总计 附：K2?n(ad?bc)2(a?b)(c?d)(a?c)(b?d). P?K2?k? 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 （2）现采用分层抽样的方法从中老年人中抽取8人，再从这8人中随机抽取2人进行深入调查，求事件A：“恰有一人年龄在?45,55?”发生的概率. 19．平行四边形ABCD中，?A??3，2AB?BC，E,F分别是BC,AD的中点.将四边形DCEF沿着EF折起，使 得平面ABEF?平面DCEF，得到三棱柱AFD?BEC， （1）证明：DB?EF； （2）若AB?2，求三棱柱AFD?BEC的体积. 20．已知抛物线C:y2?2px?p?0?的焦点为F，过点F且斜率为1的直线l截得圆：x2?y2?p2的弦长为214. （1）求抛物线C的方程； （2）若过点F作互相垂直的两条直线l1、l2，l1与抛物线C交于A、B两点，l2与抛物线C交于D、E两点，M、 N分别为弦AB、DE的中点，求MF?NF的最小值. 21．已知函数f(x)?ex?sinx?ax2?2x. （1）当a?0时，判断f(x)在?0,???上的单调性并加以证明； （2）若x?0，f(x)?1，求a的取值范围. 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号. 22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为??x?tcos?（t?x??1?cos??y?2?tsin?为参数），曲线C的参数方程为??y?1?sin?（?为参数）. （1）当???3时，求直线l与曲线C的普通方程； （2）若直线l与曲线C交于A,B两点，直线l倾斜角的范围为???0,π? 3?? ，且P点的直角坐标为（0,2），求PA?PBPA?PB的 最小值. 23．已知函数f?x??|x?1|?|x?a|. （1）若a??1，求不等式f(x)?1的解集； （2）若“?x?R，f?x??|2a?1|”为假命题，求a的取值范围. 文数答案 1-12.DACADBBDACAD 13．?214．a10n?n15． 916．①②③④ 17.(1)由umr?rn可得umr?rn?0，.........2分 即12sinx?32cosx?0，则tanx?3，.........4分 解得x??3.........6分 (2)由题意可得 12sinx?31?12cosx?3即sin(x?3)?3，.........8分 由x??3????0,??6??,∴cos(x??3)?223，.........9分 又sin(2x?5?3)??sin(2x?2?3），.........10分 所以sin(2x?5?122423)??2?3?3=?9..........12分 18.（1）2?2列联表如图所示 了解新高考 不了解新高考 总计 中青年 22 8 30 老年 8 12 20 总计 30 20 50 .........2分 K2?50?(22?12?8?8)230?20?20?30?5.556?3.841，.........5分 所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联..........6分 （2）由表格数据得到抽取的8人中：年龄在?45，55?中的有4人，年龄在?55,65?中的有2人，年龄在?65,75?中的有2人..........9分 从8人中抽取2人的方法有28种，其中恰有一人年龄在?45,55?被抽中的方法有16种..........11分 所以P(A)?1628=47..........12分 19.（1）取EF的中点O，连接OD,OB,ED,FB，易知?BEF,?DEF是等边三角形. ∴OD?EF，OB?EF..........2分 ∵OD?OB?O， ∴EF?平面BOD，.........4分 而BD?平面BOD， ∴DB?EF..........6分 （2）三棱柱可分为四棱锥D?ABEF与三棱锥B?CDE. 由（1）知OD?EF，而平面ABEF?平面DCEF，且交线为EF， ∴OD?平面ABEF. 同理可证OB?平面DCEF..........9分 四棱锥D?ABEF的体积V1B?ABEF?3?2?3?3?2，.........10分 三棱锥B?CDE的体积VB?CDE?13?12?2?3?3?1，.........11分 ∴三棱柱AFD?BEC的体积V?VD?ABEF?VB?CDE?3..........12分 20.（1）由已知得直线方程为l:y?x?p2， 圆心到直线l的距离为d?p22?2p4，......2分 又d2+14=p2得p?4，......4分 故抛物线C的方程为y2?8x；.........5分 （2）由（1）知焦点为F?2,0?. 由已知可得AB?DE，所以两直线AB、DE的斜率都存在且均不为0. 设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为?1k， 故直线AB的方程为y?k?x?2?. 联立方程组???y2?8x?k?x?2?，消去x，整理得ky2?8y?16k?0..........7分 ?y?设点A?x1,y1?、B?x2,y2?，则y1?y2?8k. 因为M?x1M,yM?为弦AB的中点，所以yM?2?y41?y2??k. 由yyM?k?xM?2?，得xMM?k?2?4?44?k2?2，故点M??k2?2,k?? 同理，可得N?4k2?2,?4k?..........9分 故NF??4k2?2?2?2???4k?2?4k2?1?k2?，MF?161641?k2k4?k2?k2. 所以41?k2k2?4k?1?k??16?1?k2MF?NF?22k?16???|k|?1??16?21?k??k??32， ?k当且仅当k?1k，即k??1时，等号成立. 所以MF?NF的最小值为32..........12分 21.（1）当a?0时，f?(x)?ex?cosx?2..........1分 记g(x)?f?(x)，则g?(x)?ex?sinx， 当x?0时，ex?1，?1?sinx?1. 所以g?(x)?ex?sinx?0，所以g(x)在?0,???单调递增，.........3分 所以g(x)?g(0)?0. 因为g(x)?f?(x)，所以f?(x)?0，所以f(x)在?0,???为增函数..........5分 （2）由题意，得f?(x)?ex?cosx?2ax?2，记g(x)?f?(x)，则g?(x)?ex?sinx?2a， 令h(x)?g(?x)，则h?(x)?ex?cosx， 当x?0时，ex?1，cosx?1，所以h?(x)?ex?cosx?0， 所以h(x)在?0,???为增函数，即g?(x)?ex?sinx?2a在?0,???单调递增 所以g?(x)?g?(0)?e0?sin0?2a?1?2a........7分 ①当1?2a?0，a?12，g?(x)?0恒成立，所以g(x)为增函数，即f?(x)在?0,???单调递增，又f?(0)?0，所以f??x??0，所以f(x)在?0,???为增函数，所以f(x)?f(0)?1 所以a?12满足题意......9分 ②当a?12，g?(0)?1?2a?0，令u(x)?ex?x?1，x?0， 因为x?0，所以u?(x)?ex?1?0，故u(x)在(0,??)单调递增， 故u(x)?u(0)?0，即ex?x?1. 故g?(2a)?e2a?sin2a?2a?2a?1?sin2a?2a?0， 又g?(x)?ex?sinx?2a在(0,??)单调递增， 由零点存在性定理知，存在唯一实数m?(0,??)，g?(m)?0， 当x?(0,m)时，g?(x)?0，g(x)单调递减，即f?(x)单调递减， 所以f?(x)?f?(0)?0，此时f(x)在(0,m)为减函数， 所以f(x)?f(0)?1，不合题意，应舍去........11分 综上所述，a的取值范围是a?12........12分 22.（1）Q???3 ???1直线l的参数方程为?x??2t，消掉参数t ???y?2?32t可得直线l的普通方程为3x?y?2?0，.......2分 QC的参数方程为??x??1?cos?y?1?sin?（?为参数） ?可得??x?1?cos??y?1?sin? ??x?1?2??y?1?2??cos??2??sin??2 曲线C的普通方程为?x?1?2??y?1?2?1........5分 （2）将l的参数方程为??x?tcos?（t为参数）代入圆的方程?y?2?tsin??x?1?2??y?1?2?1得t2?2?sin??cos??t?1?0，.......7分 设A,B所对应的参数分别为t1,t2， 则PA?PB?t1t2?1， PA?PB?t1?t2?2sin??cos?， PA?PBt1t2?11所以PA?PB?t2sin????21?t1cos?22sin????4，.......9分 ???4??当???PA?PB4时， PA?PB的最小值为 24........10分 ?23.解：（1）当a??1时，f?x??x?1?x?1???2,x??1,?2x,?1?x?1,.......2分 ??2,x?1.