发布时间 : 星期一 文章安徽省铜陵一中高一数学下学期开学考试试题(含解析)更新完毕开始阅读
定其解析式． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：
（Ⅰ）由题意可得A=3，根据周期T=2（
2×
+φ=2kπ+
）=，求得ω=2．由
，k∈z，以及﹣π＜φ＜π，可得 φ的值，从而求得函数的解
析式． （Ⅱ）由 2kπ+区间．
（Ⅲ）函数y=sin（2x+再由 2x+
∈[﹣
，
）的图象和直线y=]，y=sin（2x+
在
上有2个交点，∈[
，1），由此
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减
）的图象可得
求得实数m的取值范围．
解答：
解：（Ⅰ）由题意可得A=3，周期T=2（
由2×（2x+
+φ=2kπ+）．
≤2x+
≤2kπ+，kπ+
）=，∴ω=2．
，故函数f（x）=3sin
，k∈z，以及﹣π＜φ＜π，可得 φ=
（Ⅱ）由 2kπ+，k∈z，求得kπ+]，k∈z．
≤x≤kπ+，
故函数的减区间为[kπ+（Ⅲ）∵=
有2个实数根．
时，函数h（x）=2f（x）+1﹣m有两个零点，故 sin（2x+）
即函数y=sin（2x+再由 2x+
∈[﹣
）的图象和直线y=，
有2个交点．
）的图象可得
∈[
，
]，结合函数y=sin（2x+
1），解得 m∈[3+1，7），
即 实数m的取值范围是[3+1，7）． 点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，由函数y=Asin（ωx+?）的部分图象求
解析式，正弦函数的定义域和值域，体现了转化的数学思想，属于中档题．
18．（12分）已知函数
（1）若定义域为R，求a范围 （2）若值域为R，求a范围．
考点：函数的定义域及其求法；函数的值域．
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专题：函数的性质及应用． 分析： （1）根据函数
的定义域为R，说明对任意实数x，对
数式的真数恒大于0，而真数是二次三项式，由其对应的二次方程的判别式小于0即
可求得a的取值范围，同时兼顾对数式的底数有意义； （2）根据函数
的值域为R，说明对数式的真数能取到
大于0的所有实数，则真数上的二次三项式对应的抛物线顶点应在x轴上或其下方，故其对应的二次方程的判别式应大于等于0，由此求解a的取值范围． 解答： 解：（1）由函数的定义域为R，
说明x+ax+2＞0对任意实数恒成立，
则不等式x+ax+2＞0对应二次方程的△=a﹣8＜0，即
又a＞0且a≠1，所以，0＜a＜，且a≠1． 故使函数（1，（2）函数
2
2
2
2
．
的定义域为R的a的取值范围是（0，1）∪
）；
的值域为R，
说明x+ax+2能取到大于0的所有实数，
则不等式x+ax+2＞0对应二次方程的△=a﹣8≥0，解得：又a＞0且a≠1，所以，使函数
2
2
或．
的值域为R的a的取值
范围是（2，+∞）． 点评：本题考查了函数的定义域，函数的值域，考查了数学转化思想，解答此题的关键是由
函数值域是R，得到真数的二次三项式的判别式大于等于0，是基础题，解答时易忽略底数的限制条件，也是易错题． 19．（13分）已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）为二次函数，且满足f（2）=1，f（x）在（0，+∞）上的两个零点为1和3． （1）求函数f（x）在R上的解析式；
（2）作出f（x）的图象，并根据图象讨论关于x的方程f（x）﹣c=0（c∈R）根的个数．
考点：函数图象的作法；函数解析式的求解及常用方法；根的存在性及根的个数判断． 专题：函数的性质及应用． 分析：（1） 先利用待定系数法求出当x＞0时，f（x）表达式，再利用奇函数的性质求出x≤0
时f（x）表达式；
（2）数形结合：方程f（x）﹣c=0（c∈R）根的个数即为y=f（x）与y=c图象的交点个数，结合图象可得答案． 解答：解： （1）由题意，当x＞0时，设f（x）=a（x﹣1）（x﹣3），（a≠0），
2
∵f（2）=1，∴a=﹣1，∴f（x）=﹣x+4x﹣3，
当x＜0时，﹣x＞0，∵f（x）为R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），
22
∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣（﹣x）+4（﹣x）﹣3]=x+4x+3，
2
即x＜0时，f（x）=x+4x+3，
10
当x=0时，由f（﹣x）=﹣f（x）得：f（0）=0，
所以． （2）作出f（x）的图象（如图所示）
由f（x）﹣c=0得：c=f（x），在图中作y=c，
根据交点讨论方程的根：
当c≥3或c≤﹣3时，方程有1个根； 当1＜c＜3或﹣3＜c＜﹣1时，方程有2个根； 当c=﹣1或c=1时，方程有3个根； 当0＜c＜1或﹣1＜c＜0时，方程有4个根； 当c=0时，方程有5个根． 点评：本题考查函数解析式的求解及函数图象的作法，同时考查数形结合思想的应用，属中
档题． 20．（13分）已知函数f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3），其中0＜a＜1，记函数f（x）的定义域为D．
（1）求函数f（x）的定义域D；
（2）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值；
22
（3）若对于D内的任意实数x，不等式﹣x+2mx﹣m+2m＜1恒成立，求实数m的取值范围．
考点：函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域． 专题：函数的性质及应用． 分析：（1）根据使函数的解析式有意义的原则，构造关于自变量x的不等式组，解得函数f
（x）的定义域D；
（2）利用对数的运算性质，化简函数的解析式，并根据二次函数的图象和性质，可分析出函数f（x）的最小值为﹣4时，a的值
2222
（3）若不等式﹣x+2mx﹣m+2m＜1恒成立，即﹣x+2mx﹣m+2m的最大值小于1，结合二次函数的图象和性质，分类讨论后，可得实数m的取值范围． 解答：解： （1）要使函数有意义：
则有
，解得﹣3＜x＜1
∴函数的定义域D为（﹣3，1）…（2分）
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（2）f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3）=loga（1﹣x）?（x+3）=loga[﹣（x+1）+4]， ∵x∈（﹣3，1）
2
∴0＜﹣（x+1）+4≤4 ∵0＜a＜1
2
∴loga[﹣（x+1）+4]≥loga4， f（x）的最小值为loga4， ∴loga4=﹣4，即a=
2
2
2
2
2
（3）由题知﹣x+2mx﹣m+2m＜1在x∈（﹣3，1）上恒成立，?x﹣2mx+m﹣2m+1＞0在x∈（﹣3，1）上恒成立，…（8分）
22
令g（x）=x﹣2mx+m﹣2m+1，x∈（﹣3，1），
2
配方得g（x）=（x﹣m）﹣2m+1，其对称轴为x=m，
22
①当m≤﹣3时，g（x）在（﹣3，1）为增函数，∴g（﹣3）=（﹣3﹣m）﹣2m+1=m+4m+10≥0，
2
而m+4m+10≥0对任意实数m恒成立，∴m≤﹣3． …（10分）
②当﹣3＜m＜1时，函数g（x）在（﹣3，﹣1）为减函数，在（﹣1，1）为增函数， ∴g（m）=﹣2m+1＞0，解得m＜．∴﹣3＜m＜…（12分）
③当m≥1时，函数g（x）在（﹣3，1）为减函数，∴g（1）=（1﹣m）﹣2m+1=m﹣4m+2≥0， 解得m≥
或m≤
，∴﹣3＜m＜…（14分）
，+∞） …（15分）
2
2
综上可得，实数m的取值范围是 （﹣∞，）∪[
点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的定义域及求法，函数的最值，熟练掌握
二次函数的图象和性质是解答的关键．
21．（13分）已知函数
（a∈R）．
（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论； （2）若f（x）为定义域上的奇函数， ①求函数f（x）的值域；
2
②求满足f（ax）＜f（2a﹣x）的x的取值范围．
考点：函数单调性的判断与证明；函数的值域；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断． 专题：综合题；函数的性质及应用． 分析： （1）函数f（x）为定义域（﹣∞，+∞），且，任取x1，x2∈（﹣
∞，+∞），且x1＜x2，推导出f（x2）﹣f（x1）＞0，由此得到f（x）在（﹣∞，+∞）
上的单调增函数．
（2）由f（x）是定义域上的奇函数，知
2
对任意实数
x恒成立，由此能够求出函数f（x）的值域和满足f（ax）＜f（2a﹣x）的x的取值范围．
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