发布时间 : 星期六 文章现代数字信号处理复习题2014更新完毕开始阅读
答：若一个随机过程的数学期望与时间无关，而其相关函数仅与?有关，则称这个随机过程是宽平稳的或广义平稳的。所谓严平稳随机过程是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。严平稳的随机过程一定是宽平稳的，反之则不然。
52.已知LTI系统的传输函数为h（t），输入是实平稳随机过程X（t），输出是Y（t），求RX(?)、RY(?)和h(t)三者间的关系？
解：平稳随机过程经过LTI系统输出还是平稳随机过程，所以
RY(?)?E[Y(t)Y(t??)]?????E[?X(t?u)h(u)du?X(t???v)h(v)dv]????????????????E[X(t?u)X(t???v)]h(u)h(v)dudv ??RX????(??u?v)h(u)h(v)dudv?????RX(?)?h(?)?h(??)其中?是卷积运算。
52.常用的自适应滤波理论与算法有哪些？
从理论上讲，自适应滤波问题没有惟一的解。为了得到自适应滤波器及其应用系统，可以采用各种不同的递推算法，这些自适应算法都有各自的特点，适用于不同场合。
常用的自适应滤波理论与算法有： （1）、基于维纳滤波理论的方法。 （2）、基于卡尔曼滤波理论的方法。 （3）、基于最小均方误差准则的方法。 （4）、基于最小二乘准则的方法。
53.简述自适应信号处理技术的应用
自适应滤波处理技术可以用来检测平稳的和非平稳的随机信号。常应用于：
（1）、自适应滤波与逆滤波。 （2）、系统辨识。 （3）、自适应均衡。 （4）、自适应回波抵消。 （5）、自适应噪声抵消与谱线增强。 （6）、自适应谱估计。 （7）、自适应波束形成。 （8）、自适应神经智能信息处理。 （9）、盲自适应信号处理。 54.自适应滤波器的特点及应用范围
答：由于滤波器的参数可以按照某种准则自动地调整到满足最佳滤波的要求；实现时不需要任何关于信号和噪声的自相关特性，尤其当输入统计特性变化时，自适应滤波器都能调整自身的参数来满足最佳滤波的需要，即具有学习和跟踪的性能。当符合下面几个情况时都可以应用自适应滤波(1)需要滤波器特性变化以自适应改变的情况时（2）当信号和噪声存在频谱重叠时（3）噪声占据的频谱是时变或未知。例如电话回声对消，雷达信号处理，导航系统，通信信道均衡和生物医学信号增强。 55.卡尔曼滤波和维纳滤波的关系及存在的问题。
答：卡尔曼滤波有一个过渡过程，而在稳态下与维纳滤波有相同的结果，是因为它们都是以最小均方误差为准则的线性估计器。卡尔曼滤波与维纳滤波中解决最佳滤波的方法也不相同。维纳滤波是用频域及传递函数的方法，而卡尔曼滤波是用时域及状态变量的方法，在理论上是维纳滤波的推广和发展，特别是在处理多变量系统，时变线性系统及非线性系统的最佳滤波等领域，提供了一种比较有效的方法，克服了基于频域处理所遇到的困难。困难包括：维纳滤波要求平稳，而卡尔曼滤波则不要求；他容许初始时间不是负无穷大，这在很多情况下是有实际意义的；卡尔曼滤波的另一个不同点是把状态或信号过程的产生看成是白噪声激励有限维数系统的输
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出；此外，维纳滤波要求过程的自相关函数和互关函数的简单(先验)知识，而卡尔曼滤波则要求时域中状态变量及信号产生过程的详细知识。卡尔曼滤波在时域上采用线性递推形式对观测值进行处理，能实时地给出系统状态的最优估计，并突破了单维输入和输出的限制。卡尔曼滤波算法的这些优点使它在信号和信息系统中得到了比较广泛的应用。卡尔曼滤波算法在具体应用中也存在一些实际问题，包括： （1）模型误差和数值发散。
即使能够获得精确的模型，也常会因精确模型太复杂，维数过高而与实时处理必须减少计算量及尽量简化模型的要求相矛盾。近似或化简的模型与精确模型之间存在误差，模型误差必然会给滤波带来影响，严重时还会造成滤波结果不收敛。
2）实时要求。
影响卡尔曼滤波算法的实时性主要是状态维数n和增益矩阵的计算，它们往往有很大的计算量。一般在计算中采取某些措施，例如应用定常系统新算法或在精度损失允许的情况下尽量减少维数等到措施，从而减少计算量以满足实时滤波的要求。
56.卡尔曼滤波的特点
卡尔曼滤波具有以下的特点：
答：(1) 算法是递推的状态空间法采用在时域内设计滤波器的方法，因而适用于多维随机过程的估计；离散型卡尔曼算法适用于计算机处理。
(2) 用递推法计算，不需要知道全部过去的值，用状态方程描述状态变量的动态变化规律，因此信号可以是平稳的，也可以是非平稳的， 即卡尔曼滤波适用于非平稳过程。
(3) 卡尔曼滤波采取的误差准则仍为估计误差的均方值最小。 57.关于维纳滤波器的两个主要结论是什么？
①维纳滤波器最优抽头权向量的计算需要已经以下统计量：（1）输入向量u(n)的自相关矩阵R；（2）输入向量
u(n)与期望响应d(n)的互相关向量?。
②维纳滤波器实际上是无约束优化最优滤波问题的解。
58.分别解释“滤波”和“预测”。
?（n）称为滤波；用过去的观测值来估计当前的或将来解：用当前的和过去的观测值来估计当前的信号y(n)=s?(n?N) ,N≥0,称为预测。 的信号y(n)?s
59.介绍维纳滤波和卡尔曼滤波解决问题的方法。 解：维纳滤波是根据全部过去观测值和当前观测值来估计信号的当前值，因此它的解形式是系统的传递函数H(Z)或单位脉冲响应h(n)；卡尔曼滤波是用当前一个估计值和最近一个观测值来估计信号的当前值，它的解形式是状态变量值。 维纳滤波只适用于平稳随机过程，卡尔曼滤波就没有这个限制。设计维纳滤波器要求已知信号与噪声的相关函数，设计卡尔曼滤波要求已知状态方程和量测方程。 60.BT谱估计的理论根据是什么？请写出此方法的具体步骤。 答：（1）相关图法又称BT法，BT谱估计的理论根据是：通过改善对相关函数的估计方法，来对周期图进行平滑处理以改善周期图谱估计的方差性能。 （2）此方法的具体步骤是：
①给出观察序列x(0),x(1),...,x(N?1)，估计出自相关函数：
?(m)?1RNN?1?m?x(n)x(n?m)，?N?1?m?N?1n?0?j?m
②对自相关函数在（-M，M）内作Fourier变换，得到功率谱：
?(?)?Sm??M?(m)?(m)e?RM
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式中，一般取
m?N?1?(m)，为一个窗函数，通常可取矩形窗。
可见，该窗函数的选择会影响到谱估计的分辨率。
61.对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的维纳－辛欣定理的主要内容。 答：(1)连续时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容： 连续时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：
1?Rx(?)?Sx(?)ej??d?Sx(?)??Rx(?)ed??F(Rx(?))???2???
(2)离散时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容：
离散时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：
??j??Sx(e)?j?m????Rx(m)e?j?m?
Rx(m)?12?????Sx(ej?)ej?md?
62.AR谱估计的基本原理是什么？与经典谱估计方法相比，其有什么特点？ 答：（1）AR谱估计的基本原理是：p阶的AR模型表示为：x(n)?? 其自相关函数满足以下YW方程：
取m?0,1,2,...,p，可得到如下矩阵方程：
??x(n?i)?u(n)
ii?1pRx(1)?Rx(0)?R(1)Rx(0)?x?????Rx(p)Rx(p?1)Rx(p)??1???2???????Rx(p?1)???1???0????????????????Rx(0)???0????p?????(m)，再利用以上矩阵方程，直接求出 在实际计算中，已知长度为N的序列x(n)，可以估计其自相关函数Rx参数?1,?2,...,?p及?，于是可求出x(n)的功率谱的估计值。
63.已知信号模型为s（n）=s(n-1)+w(n),测量模型为x(n)=s(n)+v(n),这里w(n)和v(n)都是均值为零的白噪声，其
方差分别为0.5和1，v(n)与s(n)和w(n)都不相关。现设计一因果IIR维纳滤波器处理x(n)，以得到对s(n)的最佳估计。求该滤波器的传输函数和差分方程。
解：根据信号模型和测量模型方程可看出下列参数值：a=1，c=1，Q=0.5，R=1。将它们代入Ricatti方程Q=P－a2RP/(R+c2P) 得 0.5=P－P/(1+P)
解此方程得P=1或P=-0.5，取正解P=1。
再计算维纳增益G和参数f:G=cp/(R+c2P) =1/ (1+1) =0.5 f=Ra/(R+c2P) =1/ (1+1) =0.5 故得因果IIR维纳滤波器的传输函数和差分方程分别如下： Hc(z)=G/(1－fz-1)=0.5/(1－0.5z-1) （n）=0.5
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2(n-1)+0.5x(n)
64.简述AR模型功率谱估计步骤。
步骤1：根据N点的观测数据uN（n）估计自相关函数，得
ru(m)，m=0,1,2,…,p, 即
^
步骤2：用p+1个自相关函数的估计值，通过直接矩阵求逆或者按阶数递推的方法（如Levinson-Durbin算法），
1ru(m)?N^?un?0N?1*(n)uN(n?m)N求解Yule-Walker方程式，得到p阶AR模型参数的估计值
a1,a2,?ap 和?^^^^^2p
步骤3：将上述参数代入AR（p）的功率表达式中，得到功率谱估计
^SAR(w) ，即
SAR(w)??p^2^p|1??ake?jwk|2
65.白噪声是现代信号处理中常用的一种随机信号，请从时域和频域两个角度对其加以阐述。 答：设?X?t?,??＜t＜??为实值平稳过程，若它的均值为零，
在时域中，其自相关函数仅在0点有一个冲击函数，在其他点均为0；
在频域中，谱函数在所有频率范围内为非零的常数，则称X(t)为白噪声过程。 66.简述AR模型功率谱估计的方法
答：（1）根据N点的观测数据uN(n)估计自相关函数，得ru(m),m?0,1,2,k?1,p，即
1ru(m)?N?ui?0N?1N(n)u*(n?m) N（2）用p?1个自相关函数的估计值ru(m)，通过直接矩阵求逆或者按阶数递推的方法（如Levinson-Durbin算
法），求解Yule-Walker方程
ru(?1)?ru(0)?ru(0)?ru(?1)???ru(?p)ru(?p?1) 得到p阶AR模型的参数估计值a1,a2,ru(?p)??1???2??????ru(?p?1)??a1??0? ????????????0???aru(0)??p????2p,ap和?。
（3）将上述参数带入AR（p）的功率谱表达式中，得到功率谱估计式SAR(w)，即
SAR(w)?2?p|1??ake?jwk|2k?1p
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