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2005年考研数学（三）真题
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）极限limxsinx??2x= . 2x?1（2） 微分方程xy??y?0满足初始条件y(1)?2的特解为______. （3）设二元函数z?xex?y?(x?1)ln(1?y)，则dz(1,0)?________. （4）设行向量组(2,1,1,1)，(2,1,a,a)，(3,2,1,a)，(4,3,2,1)线性相关，且a?1，则a=_____. （5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数，记为Y, 则
P{Y?2}=______.
（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1
已知随机事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立，则a= ， b= .
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）当a取下列哪个值时，函数f(x)?2x?9x?12x?a恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设I1?32??cosDx2?y2d?,I2???cos(x2?y2)d?,I3???cos(x2?y2)2d?,其中
DDD?{(x,y)x2?y2?1}，则
(A) I3?I2?I1. （B）I1?I2?I3.
(C) I2?I1?I3. (D) I3?I1?I2. [ ] （9）设an?0,n?1,2,?,若
??an?1?n发散，
?(?1)n?1?n?1an收敛，则下列结论正确的是
(A)
?an?1?2n?1收敛，
?a
n?1
?
2n
发散 . （B）
??a
n?1
?
2n
收敛，
?an?1?2n?1发散.
(C)
?(an?12n?1?a2n)收敛. (D)
?(an?12n?1?a2n)收敛. [ ]
（10）设f(x)?xsinx?cosx,下列命题中正确的是
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(A) f(0)是极大值，f()是极小值. （B） f(0)是极小值，f()是极大值.
??22（C） f(0)是极大值，f()也是极大值. (D) f(0)是极小值，f()也是极小值.
??22[ ]
（11）以下四个命题中，正确的是
(A) 若f?(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B）若f(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （C）若f?(x)在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.
(D) 若f(x)在（0，1）内有界，则f?(x)在（0，1）内有界. [ ]
A为A的转置矩阵. 若a11,a12,a13（12）设矩阵A=(aij)3?3 满足A?A，其中A是A的伴随矩阵，
为三个相等的正数，则a11为
*T*T(A)
13. (B) 3. (C) . (D)
333. [ ]
（13）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，A(?1??2)线性无关的充分必要条件是
(A)
?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0. [ ]
22（14） 设一批零件的长度服从正态分布N(?,?)，其中?,?均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值x?20(cm)，样本标准差s?1(cm)，则?的置信度为0.90的置信区间是
1111t0.05(16),20?t0.05(16)). (B) (20?t0.1(16),20?t0.1(16)). 44441111(C)(20?t0.05(15),20?t0.05(15)).(D)(20?t0.1(15),20?t0.1(15)). [ ]
4444(A) (20?三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（15）（本题满分8分） 求lim(x?01?x1?). ?xx1?e（16）（本题满分8分）
22yx2?g2?g设f(u)具有二阶连续导数，且g(x,y)?f()?yf()，求x?y. xy?x2?y2（17）（本题满分9分）
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计算二重积分
??x2?y2?1d?，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}.
D（18）（本题满分9分） ?求幂级数
?(12n?1?1)x2n在区间(-1,1)内的和函数S(x). n?1（19）（本题满分8分）
设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,f?(x)?0,g?(x)?0.证明：对任何a?[0,1],有
?a10g(x)f?(x)dx??0f(x)g?(x)dx?f(a)g(1).
（20）（本题满分13分） 已知齐次线性方程组
?x1?2x2?3x3?0, （i） ??2x1?3x2?5x3?0,
??x1?x2?ax3?0,和
（ii） ??x1?bx2?cx3?0,?2x1?b2x2?(c?1)x3?0, 同解，求a,b, c的值.
（21）（本题满分13分）
设D???AC?B?为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m?n矩阵. ?CT?(I) 计算PTDP，其中P???Em?A?1C??oE?； n?（II）利用(I)的结果判断矩阵B?CTA?1C是否为正定矩阵，并证明你的结论. （22）（本题满分13分）
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)???1,0?x?1,0?y?2x,?0,其他.
求：（I） (X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y)； （II） Z?2X?Y的概率密度fZ(z). ( III ) P{Y?112X?2}. （23）（本题满分13分）
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设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,?2)的简单随机样本，X为样本均值，记
Xi?X,i?1,2,?,n.
求：（I） Yi的方差DYi,i?1,2,?,n； （II）Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).
（III）若c(Y1?Yn)2是?2的无偏估计量，求常数c.
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Yi?