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实变函数复习题
一、选择题
1、?A\\B?\\C?A\\?B\\C?成立的充分必要条件是（ ）
A、A?B B、B?A C、A?C D、C?A 2、设M是任意一个集合，N是M的所有子集构成的集合，则它们的基数之间的关系是( )
A、M
? D、不能判定
3、设{Fn}是一列闭集，F??Fn?1n,则F一定是( )
D、不能确定
A、开集 B、闭集 C、开集，也是闭集
4、关于Cantor集P，下述哪个说法不成立？（ ） ．
A、 P无内点
B、P的测度为0 D、P是完备集
C、 P由可数个闭区间组成
5．设P是Cantor集，则（ ） A．P与Rn对等，且P的测度为0 C．P与R不对等，且P的测度为0 A.P无内点
n
B．P与Rn对等，且P的测度为1 D．P与R不对等，P的测度为1
B.P中的点都为孤立点
n
6.关于Cantor集P，下述哪个说法不成立？（ ） C.P中的点都为聚点 D.P是闭集 7．有限个可数集的并集是（ ）
A.有限集 B.可数集 C.不可数集 8. 任意个闭集的交集是( ) A. 开集
D.无法确定
B. 闭集
C. 既是开集，又是闭集 D. 既不是开集，也不是闭集 9、设E是闭区间[0,1]中的无理点集，则（ ）
A、mE?1 B、mE?0 C、E是不可测集 D、E是闭集
10．设Q是R中有理数的全体，则在R中Q的闭包Q是( ) A.Q B.? C.R
D.R＼Q
D.-∞
11、设E是R中无理数全体，则mE（ ） A.0 B.1 C.＋∞
12、 设f(x)在E上可测，则E[x;f(x)???]是( )
A. 可测集 B. 不可测集 C. 空集 D. 无法判定 13、设f(x)与g(x)在E上可测，则E[x;f(x)?g(x)]是( )。
A、 可测集 B、不可测集 C、 空集 D、无法判定
14、设mE???，?fn?x??是E上几乎处处有限的可测函数列，f?x?是E上几乎处处有限的可测函数，则?fn?x??几乎处处收敛于f?x?是?fn?x??依测度收敛于f?x?的（ ）
A、必要条件 B、充分条件
C、充分必要条件 D、无关条件
15、设{fn(x)}｝是一列可测函数，则inffn(x)是( )
nA. 可测函数 B. 不可测函数 C. 连续函数 D. 可导函数 16．设f(x)在E上有定义，D与D'是E的两个分划，D'是D的加细，sD与sD'分别表示f(x)在E上关于D与D'的小和数，则有( )
A. sD?sD' B. sD?sD' C. sD?sD' D.不能确定 17、设f?x?是E上的可测函数，则（ ）
A、f?x?是E上的连续函数 B、f?x?是E上的勒贝格可积函数 ?x?是E上的简单函数 D、f?x?可表示为一列简单函数的极限
EEC、f18、设f(x)在闭集E?Rn上R可积，I1=(R)?f(x)dx，I2=(L)?f(x)dx，则有（ ）
A、I1＜I2 B、I1=I2
C、I1＞I2 D、不能比较
?19.设An(n?1,2,3?)是一列递增集合，F?limAn，G?n???An?1n，则F与G的外测度满足
（ ）
A.mF?mG B.mF?mG C. mF?mG D.不能比较 二、填空题
?1、设集列?An?n?1满足An?An?1(n?1,2,?),则limAn=______.
******n??2.设Gn?(1?1n,1?1n?)，n?1,2,3,?， 则?Gn=________.
n?1n3、设E?Rn，x0?R，如果x0的任何邻域中都含有E的 点，则称x0是E的聚点。
4、设E?Rn，若E是有界 点集，则E至少有一个聚点。 5.设Fn?[,1?n11n?]，n?3,4,?，则?Fn=__ .
n?36.设E?([0,1]?Q)?([3,7]?Q)，则mE=_________.
7.设E是［0，1］中无理数全体，则mE＝_________.
??8.设An(n?1,2,3,?)是一列集合，则??Am=_____.
n?1m?n9、设 Sn?(n,?)(n?1,2,3,?)，则limmSn =______.
n??10、设f(x)是［0，1］上的单调函数，E是f(x)的连续点全体，则mE=________. 11、设f?x?是E上的可测函数，mA?0，则f?x?是E?A上的 函数。
?12、设f(x)在E上可测,?a?R,?Ex;f(x)?a??______. ??n?1n??13.函数f(x)在E上几乎处处有界是指__除掉一个测度为零的子集以处在E上处处有界_. 14、设在E上，?fn?x??依测度收敛于f?x?，则存在?fn?x??的子列?fn上，?fn?1?k?x??，使得在Ek?x?? 于f?x?。
15.设f(x)在E?Rn上Lebesgue可积，f?(x),f?(x)分别表示f(x)的正部与负部，且
I1??Ef(x)dx,I2???Ef(x)dx,则
??Ef(x)dx=______.
16.设f?(x)与f?(x)分别是f(x)的正部与负部,则f(x)用f?(x)与f?(x)表示为f(x)=______.
17、设f(x)在E上Lebesgue可积,则对任意可测子集A?E,limmA?0?Af(x)dx=______
.
18、设{fn(x)}是E上的非负可测函数列，则?limfn(x)dx______limEn???n???Efn(x)dx19、设f(x)是可测集E上可积函数，E??Ej(Ei?Ej??,i?j)，记I1?j?1?Ef(x)dx，
?I2???f(x)dx，则它们的大小关系是______.
i?1Ei
参考答案
选择题
ACBCA BBBAC CAABA ADBB
填空题
?1、?An 2、{1} 3、异于x0的 4、无穷 5、(0,1)
n?16、1 7、1 8、1 9limAn??n_
11、几乎处处可测 12、E?x;f(x)?a?
13、除掉一个测度为零的子集以处在E上处处有界15、I1?I2 16、f?(x)?f?(x) 17、0 18
、0 10、
、几乎处处收敛 、? 19相等
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