发布时间 : 星期二 文章高中数学解题思想 方法大全更新完毕开始阅读
目 录
前言 ……………………………………………………… 2 第一章 高中数学常用的数学思想 …………………… 3
一、 数形结合思想 ……………………………… 3 二、 分类讨论思想 ……………………………… 9 三、 函数与方程思想 …………………………… 15 四、 转化（化归）思想 ………………………… 22
第二章 高中数学解题基本方法 ……………………… 23
一、 配方法 ……………………………………… 23 二、 换元法 ……………………………………… 27 三、 待定系数法 ………………………………… 34 四、 定义法 ……………………………………… 39 五、 数学归纳法 ………………………………… 43 六、 参数法 ……………………………………… 48 七、 反证法 ……………………………………… 52 八、 消去法 ……………………………………… 54 九、 分析与综合法 ……………………………… 55 十、 特殊与一般法 ……………………………… 56 十一、 类比与归纳法 ………………………… 57 十二、 观察与实验法 ………………………… 58
第三章 高考热点问题和解题策略 …………………… 59
一、 应用问题 …………………………………… 59 二、 探索性问题 ………………………………… 65 三、 选择题解答策略 …………………………… 71 四、 填空题解答策略 …………………………… 77 附录 ………………………………………………………
一、 高考数学试卷分析 ………………………… 二、 两套高考模拟试卷 ………………………… 三、 参考答案 ……………………………………
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前 言
美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。
高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：
① 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ② 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；
③ 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；
④ 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。
数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。
数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。
可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。
为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。
在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的
选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。
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第一章 高中数学常用的数学思想
一、数形结合思想方法
中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
Ⅰ、再现性题组：
1. 设命题甲：0 A. 0 3. 如果|x|≤ π2,那么函数f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。 (89年全国文) 42?12?11?2A. B. － C. －1 D. 2224. 如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。 (91年全国) A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5 C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5 5. 设全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| y?3＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那x?2么M∪N等于_____。 (90年全国) A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y＝x＋1 3 4 6. 如果θ是第二象限的角，且满足cos θθθ－sin＝1?sinθ,那么是_____。 222A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第 二象限角 7. 已知集合E＝{θ|cosθ 3π3π5πππ3π,π) B. (,) C. (π, ) D. (,) 4424245π8. 若复数z的辐角为，实部为－23，则z＝_____。 6A. －23－2ｉ B. －23＋2ｉ C. －23＋23ｉ D. －23－23ｉ y229. 如果实数x、y满足等式(x－2)＋y＝3，那么的最大值是_____。 (90年全国理) x133A. B. C. D. 3 23210. 满足方程|z＋3－3ｉ|＝3的辐角主值最小的复数z是_____。 A. ( 【简解】1小题：将不等式解集用数轴表示，可以看出，甲＝>乙，选A; 2小题：由已知画出对数曲线，选B； 3小题：设sinx＝t后借助二次函数的图像求f(x)的最小值，选D； 4小题：由奇函数图像关于原点对称画出图像，选B； 5小题：将几个集合的几何意义用图形表示出来，选B； 6小题：利用单位圆确定符号及象限；选B； 7小题：利用单位圆，选A； 8小题：将复数表示在复平面上，选B； 9小题：转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；选D； 3310小题：利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解,答案－＋ｉ。 22【注】 以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题， 即借助数轴（①题）、图像（②、③、④、⑤题）、单位圆（⑥、⑦题）、复平面（⑧、⑩题）、方程曲线（⑨题）。 Ⅱ、示范性题组： 2例1. 若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内 y 4 y=1-m 有唯一解，求实数m的取值范围。 【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程 1 在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。 O 2 3 x ?3?x?0【解】 原方程变形为 ? 2??x?3x?m?3?x?3?x?0即：? 2(x?2)?1?m?设曲线y1＝(x－2) , x∈(0,3)和直线y2＝1－m，图像如图所示。由图可知： 4 2