发布时间 : 星期六 文章第六章 微分中值定理及其应用- 琼州学院质量工程 - 图文更新完毕开始阅读
第六章 微分中值定理及其应用
习题
§1拉格朗日定理和函数的单调性
1、试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点?，使f?(?)?0：
11??xsin,0?x?,（1）f(x)??x? （2）f（x）=|x|，-1≤x≤1。
?0,x?0;?2、证明：（1）方程x?3x?c?0（这里c为常数）在区间[0，1]内不可能有两个不同的实根；
（2）方程xn?px?q?0（n为正整数，p、q为实数）当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。
3、证明定理6、2推论2。
4、证明（1）若函数f在[a，b]上可导，且f?(x)?m，则
f（b）≥f（a）+ m（b - a）；
（2）若函数f在[a，b]上可导，且|f?(x)|?M，则
|f（b）- f（a）|≤M（b-a）；
（3）对任意实数x1，x2，都有|sinx1?sinx2|?|x2?x1|。 5、应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：
3b?abb?a?ln?，其中0
6、确定下列函数的单调区间：
（1）f（x）=3x?x； （2）f（x）=2x?lnx；
22x2?1
（3）f（x）=2x?x； （4）f（x）=。
x
27、应用函数的单调性证明下列不等式：
x3?,x?(0,)； （1）tanx?x?33（2）
2x?sinx?x,x?(0,)；
?2?x2x2（3）x??ln(1?x)?x?,x?0。
22(1?x)
1
8、以s（x）记由（a，f（a）），（b，f（b）），（x，f（x））三点组成的三角形面积，试对s（x）应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。
9、设f为[a，b]上二阶可导函数，f（a）=f（b）=0，并存在一点c?(a,b)使得f（c）>0。证明至少存在一点??(a,b)，使得f??(?)?0。
10、设函数f在（a，b）内可导，且f?单调。证明f?在（a，b）内连续。
11、设p（x）为多项式，?为p（x）=0的r重实根。证明?必定是p?(x)的r – 1重实根。
12、证明：设f为n阶可导函数，若方程（fx）=0有n+1个相异的实根，则方程f至少有一个实根。
13、设a，b>0。证明方程x?ax?b=0不存在正根。 14、证明：
3(n)(x)?0tanxx??,x?(0,)。 xsinx215、证明：若函数f，g在区间[a，b]上可导，且f?(x)?g?(x),f(a)?g(a)，则在（a，b]内有f（x）>g（x）。
§2柯西中值定理和不定式极限
1、试问函数f(x)?x2,g(x)?x3在区间[-1，1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？
2、设函数f在[a，b]上可导。证明：存在??(a,b)，使得 2?[f(b)?f(a)]?(b?a)f?(?)。 3、设函数f 在点a处具有连续的二阶导数。证明： limh?022f(a?h)?f(a?h)?2f(a)?f??(a)。 2h。证明存在??(?,?)，使得
4、设0?????
?2sin??sin??cot?。
cos??cos?5、求下列不定式极限
ex?11?2sinx（1）lim； （2）lim；
?x?0sinxcos3xx?6（3）limx?0ln(1?x)?xtanx?x； （4）lim；
x?0x?sinxcosx?1 2
（5）limx??2tanx?611)； ； （6）lim(?xx?0secx?5xe?111?x（7）lim(tanx)x?0sinx； （8）limxx?1；
sinxlnx； （9）lim(1?x2)； （10）lim?x?0x?01x11tanxx2lim)（11）lim(2?； （12）()。
x?0x?0xsin2xx6、设函数f在点a的某个邻域具有二阶导数。证明：对充分小的h，存在?,0???1，使得
1f(a?h)?f(a?h)?2f(a)f??(a??h)?f??(a??h)?。 22h7、求下列不定式极限： （1）limlncos(x?1)； （2）lim(??2arctanx)lnx；
x???x?1?x1?sin2sinxx（3）lim?x?0； （4）lim(tanx)x?tan2x?；
4?ln(1?x)(1?x)1?1?lim(cotx?)； （5）lim?； （6）?2?x?0?x?0xxx??（7）limx?0(1?x)?e???； （8）lim??arctanx?。
x???2x??1x8、设f（0）=0，f?在原点的某邻域内连续，且f?(0)?0。证明：
x lim?x?0x???f(x)?1。
x???9、证明定理6、6中limf(x)?0,limg(x)?0情形时的洛必达法则。 10、证明：f(x)?x3e?x为有界函数。 §3泰勒公式
1、求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式： （1）f（x）=
211?x；
（2）f（x）= arctanx到含x的项；
3
5（3）f（x）= tanx到含x的项。 2、按例4的方法求下列极限：
5exsinx?x(1?x)??1??2（1）lim； （2）limx?xln?1???； ?3x?0x??x?x???（3）limx?01?1???cotx?。 x?x?3、求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式： （1）f（x）=x?4x?5，在x = 1处； （2）f（x）=
321，在x = 0处。 1?x4、估计下列近似公式的绝对误差：
1x3（1）sinx?x?，当|x|≤；
26xx2,x?[0,1]。 （2）1?x?1??285、计算：（1）数e准确到10； （2）lg11准确到10。
§4函数的极值与最大（小）值
1、求下列函数的极值：
（1）f（x）=2x?x； （2）f（x）=
34?5?92x； 1?x21(lnx)22（3）f（x）=； （4）f（x）=arctanx?ln(1?x)。
2x2、设
1?4?xsin2,x?0,f（x）=? x?0,x?0.?（1）证明：x = 0是极小值点；
（2）说明f的极小值点x = 0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件。
?(x0)?0(?0),f??(x0)?0(?0)，则x0为f的极大3、证明：若函数f在点x0处有f?（小）值点。
4、求下列函数在给定区间上的最大最小值：
（1）y =x?5x?5x?1,[?1,2]；
4
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