发布时间 : 星期六 文章数学分析 第二型曲线积分 课件更新完毕开始阅读
?Lxydx?(y?x)dy??(y?x)dy?DB38?25??0?????? 23?6?2例2 计算
?xdy?ydx，这里L:(i)沿抛物线y?2xL，从O到B的一段（图20-4）；
(ii)沿直线段OB:y?2x；(iii)沿封闭曲线OABO。
解 (i) (ii)
?Lxdy?ydx??x(4x)?2xdx??6x2dx?00101?2?16?2。 3?Lxdy?ydx??(2x?2x)dx?4?1?2。 2(iii)在OA一段上，y?0,0?x?1;在AB一段上，x?1,0?y?2;在BO一段上与(ii)一样是y?2x从x?1到x?0的一段。所以
??因此
OAxdy?ydx??0dx?0,
o1?ABxdy?ydx??1dx?2,
12BOxdy?ydx???xdy?ydx??2,(见(ii))。
OB?xdy?ydx??LOA??AB??BO?0?2?2?0。
对于沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与(6)式相仿。设空间有向光滑曲线L的参量方程为
?x?x(t),?L:?y?y(t),??t??， ?z?z(t),?起
点
为
(x(?),y(?),z(?))?，终点为
(x(?),y(?),z(?))，则
?LPdx?Qdy?Rdz???P(x(t),y(t),z(t))x?(t)?Q(x(t),y(t),z(t))y?(t)?R(x(t),y(t),z(t))z?(t)?dt?。(7)
这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致。 例3 计算第二型曲线积分 I??xydx?(y?x)dy?xL2dz，
其中L 是螺旋曲线x?acost,y?asint,z?bt，从t?0到t??上的一段。
解 由公式(7)，
I???(?a3costsin2t?a2cos2t?a2sintcost?a2bcos2t)dt?102a2()?????13a3sin3t?1a2sin2t?1a2?1???22(1?b)??t?2sin2t????
0?12a2(1?b)?。 例4 求在力F(y,?x,x?y?z)作用下，
(i)质点由A沿螺旋线L1到B所作的功（图20?5），L1:x?acost,y?asint,z?bt,0?t?2?；
(ii)质点由A沿直线L2到B所作的功。
解 如本节开头所述，在空间曲线L上力F所做的功为
W??LF?ds??Lydx?xdy?(x?y?z)dy。
(i)
由于dx??asintdt,dy?acostdt,dz?bdt，所以
W??2?0(?a2sin2t?a2cos2t?abcost?absint?b2t)dt?2?(?b2?a2)。
(ii)L2的参量方程为
x?a,y?0,z?t,0?t?2?b。
由于dx?0,dy?0,dz?dt,所以
W??2?b0(a?t)dt?2?b(a??b)。
复习思考题、作业题： 1 (1)(4), 2
其中