发布时间 : 星期五 文章数学分析 第二型曲线积分 课件更新完毕开始阅读
§2 第二型曲线积分 教学目的与要求：
掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差别． 教学重点，难点：
重点：第二型曲线积分的定义和计算公式 难点：第二型曲线积分的计算公式 教学内容：
第二型曲线积分
一 第二型曲线积分的意义
在物理学中还碰到另一种类型的曲线积分问题。例如一质点受力F(x,y)的作用沿平面曲线L从点A移动到点B，求力F(x,y)所作的功(图20?2)。
为此在曲线AB内插入n?1个分点M1,M2,?,Mn?1，与A?M0,B?Mn一起把有向曲线AB分成n个有向小曲线段Mi?1Mi(i?1,2,?,n)，若记小曲线段Mi?1Mi的弧长为
???si，则分割T的细度为
T?max?si。
1?i?n设力F(x,y)在x轴和y轴方向的投影分别为P(x,y)与Q(x,y)，那么
F(x,y)?(P(x,y),Q(x,y))。
又设小曲线段Mi?1Mi在x轴与y轴上的投影分别为?xi?xi?xi?1与?yi?yi?yi?1，其中(xi,yi)与(xi?1,yi?1)分别为分点Mi与Mi?1的坐标，记
LMiMi?1?(?xi,?yi)，
于是力F(x,y)在小曲线段Mi?1Mi上所作的功
Wi?F(?i,?i)?LMi?1Mi?p(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi,
其中(?i,?i)为小曲线段Mi?1Mi上任一点。因而力F(x,y)沿曲线AB所作的功近似的等于
?W??Wi??p(?i,?i)?xi??Q(?i,?i)?yi
i?1i?1i?1nnn当细度T?0时，上式右边和式的极限就应该是所求的功。这种类型的和式的极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分。
定义1 设函数P(x,y)与Q(x,y)定义在平面有向可求长度曲线上。对L的任一分割
T，它把L分成n个小曲线段
Mi?1Mi(i?1,2,?,n)
其中M0?A,Mn?B。记各小曲线段Mi?1Mi的弧长为?si，分割T的细度T?max?si。
1?i?n又设T的分点Mi的坐标为(xi,yi)，并记。在每个小曲线段Mi?1Mi上任取一点(?i,?i)，若极限
lim?p(?i,?i)?xi?lim?Q(?i,?i)?yi
T?0i?1T?0i?1nn存在且与分割T与点(?i,?i)的取法无关，则称此极限为函数P(x,y)，Q(x,y)沿有向曲线
L上的第二型曲线积分，记为
?P(x,y)dx?Q(x,y)dy或?LABP(x,y)dx?Q(x,y)dy (1)
上述积分也可写作
?P(x,y)dx??Q(x,y)dy
LL或 为书写简洁起见，(1)式常简写成
?ABP(x,y)dx??Q(x,y)dy
AB?Pdx?Qdy或?LABPdx?Qdy
若L为封闭的有向曲线，则记为
?Pdx?Qdy (2)
L若记F(x,y)?(P(x,y),Q(x,y)),ds?(dx,dy)，则(1)式可写成向量形式 F?ds或F?ds (3)
LAB???于是，力F(x,y)?(P(x,y),Q(x,y))沿有向曲线L:AB对质点所作的功为 W??P(x,y)dx?Q(x,y)dy。
L倘若L为空间有向可求长度曲线，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)为定义在L上的函数，则可按上述办法类似地定义沿空间有向曲线L上的第二型曲线积分，并记为
?P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz， (4)
L或简写成
?Pdx?Qdy?Rdz。
L当把F(x,y)?(P(x,y),Q(x,y),R(x,y))与ds?(dx,dy,dz)看作三维向量时，(4)式也可表示成(3)式的向量形式。
第二型曲线积分与曲线L的方向有关。对同一曲线，当方向由A到B改变为由B到A时，每一小曲线段的方向都改变。从而所得的?xi,?yi也随之改变符号，故有
?ABPdx?Qdy???Pdx?Qdy
BA而第一型曲线积分的被积表达式只是函数f(x,y)与弧长的乘积，它与曲线L的方向无关。这是两种类型曲线积分的一个重要区别。
类似于第一型曲线积分，第二型曲线积分也有如下一些重要性质：
?k??k?1. 若?Pidx?Qidy(i?1,2,?,k)存在，则???ciPi?dx???ciQi?dy也存在，且
ABL?i?1??i?1?k?k??k?ciPi?dx???ciQi?dy??ci??L?i?1?i?1??i?1???Pdx?Qdy?,
L其中ci(i?1,2,?,k)为常数。
2. 若有向曲线L是由有向曲线L1,L2,?Lk首尾相接而成，且
?LiPdx?Qdy(i?1,2,?,k)k存在，则
?Pdx?QdyL也存在, 且
?Pdx?Qdy???Li?1LiPdx?Qdy。二 第二型曲线积分的计算
与第一型曲线积分一样，第二型曲线积分也可化为定积分来计算。
设平面曲线
?x??(t)，t?[?,?] L:?y??(t)?其中?(t),?(t)在??,??上具有一阶连续导函数，且点A与B的坐标分别为?????,?????与
?????,?????。又设P(x,y)与Q(x,y)为L上的连续函数，则沿L从A到B的第二型曲线
积分
?P(x,y)dx?Q(x,y)dy????P???t?,??t?????t??Q???t?,??t?????t??dtL?
(6)
仿照1中定理20.1的方法分别证明
?P(x,y)dx???L? P???t?,??t?????t?dt，?Q(x,y)dx??Q???t?,??t?????t?dt，
L??由此便可得公式(6)，这里不再赘述了。
对于沿封闭曲线的第二型曲线积分(2)的计算，可在L上任意选取一点作为起点，沿L所指定的方向前进，最后回到这一点。
例1 计算
?xydx?(y?x)dy，其中L分别沿如图20?3中路线
L(i)直线AB；
(ii)ACB(抛物线：y?2(x?1)2?1)； (iii)ADBA(三角形周界) 解 (i)直线AB的参数方程为?故由公式(6)可得
?x?1?t， t?[0,1]。
?y?1?2t?ABxydx?(y?x)dy????1?t??1?2t??2t?dt??1?5t?2t2dt?0011??25。 6(ii)曲线ACB为抛物线y?2(x?1)2?1,1?x?2，所以
?ACBxydx?(y?x)dy??x2?x?1??1?2?x?1??1?x4?x?1?dx2212???????
??10x3?32x2?35x?12dx?12?10。 3(iii)这里L是一条封闭曲线，故可从A开始，应用上段的性质2，分别求沿AD,DB和BA上的线积分然后相加即可得到所求之曲线积分。
由
于
沿
直
线
AD:x?x,y?1(1?x?2)2的线积分为
?ADxydx?(y?x)dy??xydx??xdx?AD13。 2沿直线DB:x?2,y?y(1?y?3)的线积分为
??所以
DBxydx?(y?x)dy??(y?x)dy??(y?2)dy?0。
DB13沿直线BA的线积分可由(i)及公式(5)得到
BAxydx?(y?x)dy???xydx?(y?x)dy??AB25 6