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质心系中质点组的运动定律
宁国强
1. 引言
众所周知，牛顿运动定律是在惯性系中低速情况下才成立的规律。所以，以牛顿运动定律为基础而推导出来的一些运动定律当然也都只能在惯性系中才成立[1~4]。在研究和解决力学问题时通常选用惯性参考系，但在许多情况下选用非惯性参考系可能会使问题简单化[5~8]。在非惯性系中引入惯性力以后，牛顿运动定律可以沿用，但其推导出的运动定律是否可以沿用呢？如果可以沿用，其表达式又如何呢？本文将导出质心坐标系（质心坐标系既可以是惯性系，也可以是非惯性系）中质点组的运动定律，并以此为基础讨论质心坐标系中的碰撞与散射现象。
2. 质心参考系
以质点组的质心为原点，坐标轴与静止惯性参考系平行，这种参考系称为质心参考系或质心系。
根据质心和质心参考系的定义，可以知道质心参考系的特征。 由质心定义可知，在质心参考系中，质心的位置矢量为
?rc??????miri?mi?0. （2-1）
将rc?对时间取一阶导数，得
?mivi???vc???0.
m?i (2-2)
由上式知 ?mivi??0. (2-3)
?公式（2—3）说明了质点组对质心的总动量为零，这个结论是质心参考系定义的直接结果，与质点组整个系统的运动无关系，它反映出了质心参考系的特征。因此，我们称质心参考系为零动量参考系。正是由于有了这一特征，才能使得质心参考系成为讨论质点组运动的重要参考系[9~11]。
质心参考系既可以是惯性系，也可以是非惯性系。 由质心运动定理
???dv?cFi?m?r?c?m 可知，我们所研究的系统，如果所受
dt1
的合外力为零，则质心C
?在静止惯性参考系中以恒定速度Vc作惯性运动，此时
质心参考系也是惯性参考系。如果所受合外力不为零，则质心相对于静止惯性系作加速运动，这样，质心参考系就不再是惯性参考系，而是非惯性参考系。
3. 质心系中质点组的运动定律
3.1 质心系中质点组的动量定理和动量守恒定律
若在非惯性系中引入惯性力，则可以导出适用于非惯性系的动量定理，推导如下：
?x?y?z?(以下简称k?系)相对另一惯性系O?xyz（以下简称k?系）作加速运动，k?系原点在k系中的加速度用ac表示，现有n个质点组成的质
???点系相对k系作加速运动，r1?,r2?,?,rn?表示各质点相对k?系原点的位矢，????,?,vn?表示各质点相对于k?系运动的速度。相对于k?系，第i个质点的运动v1?,v2设有一质心系C微分方程为
mi?dvi?dt????Fi?fi?Fei， （3-1）
个质点上的外力、相互作用内力、惯性力。将式
???式中Fi,fi,Fei分别为作用于第i（3-1）两端对n个质点求和，可得
ddtnnnn?????mivi???Fi??fi??Fei， （3-2） ni?1i?1i?1i?1式中?i?1??mivi??Pr??为质点系相对于质心系k?的动量，Fei??miac是由非惯性系引
n起的第i个质点受到的惯性力。注意到对质点系来说，有?i?1?fi?0，式（3-2）就
成为
?dPrdtnn??i?1n??Fi?(?mi)ac， （3-3）
i?1式中?i?1nmi?M，M为质点系的总质量。由惯性系中的质心运动定理，有
?i?1??Fi?Mac?0，因此，（3-3）式可进一步写为
2
?dPrdt于是
n??i?1??Fi?Mac?0. （3-4）
?Pr?n?i?1?mivi??0. （3-5）
这样，我们就得到一个重要而又简单的结论：在质心参照系中，质点组的动量任何情况下都恒等于零！（2-3）式与（3-5）式是相同的，前者由质心的定义直接得出，后者由牛顿第二定律导出。由（3-5）式的导出过程可以看出，（3-5）式既是质心参照系中质点系的动量定理，又是质心参照系中质点系的动量守恒定律。
这里，有两个可能的疑问需要讲清楚：
一、在惯性参考系中，质点组动量守恒是有条件的：体系所受合外力为零。难道在质心系中，动量守恒就不需要条件？是的，只要是质心系中，质点系的动量就一定守恒，而且总动量就是零。如果要说条件的话，“质心系”本身就是体系动量守恒的条件。也就是说，“质心”和“质心系”的定义本身就包含了“质点组的总动量任何情况下都恒等于零的参照系就是质心系”的意思。
二、合外力如不为零，它对动量的贡献到哪里去了？合外力的作用是其冲量使质心的动量获得了一增量，而对质点组中各质点相对于质心的相对动量的矢量和没有贡献。
3.2 质心系中质点组的动能定理和机械能守恒定律
当合外力不为零时，质心系是非惯性系。在质心系中对第i个质点应用动能定理:
d(12???????2? miri?)?Fi?dri??fi?dri??(?miac)?dri? ， （3-6）
对i求和，得
nd(?i?1n12???2)?mirinn?i?1??Fi?dri??n?i?1n???? fi?dri??ac??midri? . （3-7）
i?1???注意到：?mdr???)?0，故有 ?dmr?d(Mr?iiiici?1i?1nd(?i?112???2)?mirin?i?1??Fi?dri??n?i?1??（3-8） fi?dri? .
3
上式即是质心系中的动能定理，它表明：质点组相对于质心的总动能的微分，等于质点组中各个质点相对于质心发生位移时所有内力和外力所做功的代数和。
由（3-8）式可见：质心系中的动能定理与惯性系中的动能定理具有相同的数学形式。须要注意的是：不仅外力做功对体系动能的变化有贡献，而且内力做功对体系动能的变化也有贡献。但质心系中惯性力做的总功为零，它对动能的变化没有贡献。
静止惯性参考系与质心参考系中的动能是有联系的，这一联系由柯尼西定理描述，其推导过程如下：
如图1所示，C为质点组的质心，O?xyz为静止惯性参考系，C心参考系。第i个质点在两参考系中的位矢和速度有下列关系： ????????r??r??. ri?rc?ri?， rici?x?y?z?为质
质点组在静止惯性参考系的动能是：
??2?1Ek??miri2i?12n1????r??)2?mi(rcii?1nn
??2?1??mirc2i?12n1?i?1???2?mirin?i?1????r??mirci
??2?1?Mrc221n?i?1n???2???r???mr??miriciii?1??2?1?Mrc221n?i?1? ??2. （3-9）mirin???以上推导过程中应用了关系：mr，式中1Mr???2是将质点组的全部质???Mr?0?iicci?12量看作集中在质心而运动时的动能，称之为质心的动能；而12
4
?2mr?i?i?则为质点
i?1n