发布时间 : 星期三 文章2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)更新完毕开始阅读
若对每一个确定的,||的最大值和最小值分别为m,n,则m﹣n的值为( ) A.随C.是2
【分析】通过假设=(4,0)、=(2,2
增大而增大
B.随D.是4
)、=(x,y),利用(﹣)?(﹣
)为圆心、半径等于2的圆上,
增大而减小
)=0,计算可得向量的终点在以(3,进而可得结论.
【解答】解:假设=(4,0)、=(2,2∵(﹣)?(﹣)=0, ∴(4﹣x,﹣y)?(2﹣x,2即(x﹣3)2+(y﹣
)2=4,
)、=(x,y),
﹣y)=x2+y2﹣6x﹣2
y+8=0,
∴满足条件的向量的终点在以(3,∴||的最大值与最小值分别为m=2+2∴m﹣n=4, 故选:D.
)为圆心、半径等于2的圆上, ,n=2
﹣2,
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算,利用特殊值代入法,是一种简单有效的方法,注意解题方法的积累,属于中档题.
10.(5分)已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上,△ABC和△DBC所在平面相互垂直,AB=3,AC=表面积为( )
,BC=CD=BD=2
,则球O的
A.4π B.12π C.16π D.36π
,利用△ABC和△DBC
【分析】证明AC⊥AB,可得△ABC的外接圆的半径为
所在平面相互垂直,球心在BC边的高上,设球心到平面ABC的距离为h,则
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h2+3=R2=(﹣h)2,求出球的半径,即可求出球O的表面积.
,BC=2
,
【解答】解:∵AB=3,AC=∴AB2+AC2=BC2, ∴AC⊥AB,
∴△ABC的外接圆的半径为
,
∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直, ∴球心在BC边的高上,
设球心到平面ABC的距离为h,则h2+3=R2=(∴h=1,R=2,
∴球O的表面积为4πR2=16π. 故选:C.
【点评】本题考查球O的表面积,考查学生的计算能力,确定球的半径是关键. 11.(5分)已知双曲线C:
(a>0,b>0)的右顶点为A,O为坐标
﹣h)2,
原点,以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P,Q,若∠PAQ=60°,且A.
,则双曲线C的离心率为( )
B.
C.
D.
【分析】设双曲线的一条渐近线方程为x,A(a,0),P(m,),(m>0),
由向量共线的坐标表示,可得Q的坐标,求得弦长|PQ|,运用中点坐标公式,可得PQ的中点坐标,由两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,可得m=r=
,
,运用圆的弦长公式计算即可得到a,b的关系,再由离心率公式计算即
可得到所求值.
【解答】解:设双曲线的一条渐近线方程 为y=x,A(a,0), P(m,
),(m>0),
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由=3,可得Q(3m,),
=2m?,
圆的半径为r=|PQ|=PQ的中点为H(2m,由AH⊥PQ,可得解得m=
,r=
.
), =﹣,
A到渐近线的距离为d=则|PQ|=2即为d=可得=e==故选:C.
=r,
r,即有, =
=
. =
?
=,
.
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,以及圆的弦长公式,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
12.(5分)已知e为自然对数的底数,若对任意的x∈[0,1],总存在唯一的y∈[﹣1,1],使得x+y2ey﹣a=0成立,则实数a的取值范围是( ) A.[1,e]
B.
C.(1,e] D.
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【分析】由x+y2ey﹣a=0成立,解得y2ey=a﹣x,根据题意可得:a﹣1≥(﹣1)2e
﹣1
,且a﹣0≤12×e1,解出并且验证等号是否成立即可得出.
【解答】解:由x+y2ey﹣a=0成立,解得y2ey=a﹣x,
∴对任意的x∈[0,1],总存在唯一的y∈[﹣1,1],使得x+y2ey﹣a=0成立, ∴a﹣1≥(﹣1)2e﹣1,且a﹣0≤12×e1, 解得
≤a≤e,其中a=1+时,y存在两个不同的实数,因此舍去,a的取值
.
范围是故选:B.
【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13.(5分)已知a>0,
.
【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得a的值,再利用积分的运算性质、法则,求得要求式子的值. 【解答】解:由令因
的展开式的通项公式为Tr+1=
?(﹣1)r?a6﹣r?
,
展开式的常数项为15,则
=
=0,求得r=2,故常数项为
此
=
dx
原
?a4=15,可得a=1,
式xdx+
为dx=2
x2dx+2
则
x2dx+
=2?+2(故答案为:
+?
?22)=.
,
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,积分的运算,是一道中档的常规问题
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