发布时间 : 星期三 文章高三数学滚动试卷（一）答案更新完毕开始阅读
18已知等比数列{an}的公比q＞1,42是a1和a4的等比中项，a2和a3的等差中项为6，若数列{bn}满足bn＝log2an(n∈N＋)．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前n项和Sn.
解析 (1)因为42是a1和a4的等比中项，所以a1·a4＝(42)2＝32. 从而可知a2·a3＝32.①因为6是a2和a3的等差中项，所以a2＋a3＝12.② ?a2＝4，因为q＞1，所以a3＞a2.联立①②，解得?
?a3＝8.a3所以q＝＝2，a1＝2.故数列{an}的通项公式为an＝2n.
a2(2)因为bn＝log2an(n∈N＋)，所以anbn＝n·2n. 所以Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋?＋(n－1)·2n－1＋n·2n.③ 2Sn＝1·22＋2·23＋?＋(n－1)·2n＋n·2n＋1.④ ③－④得，－Sn＝2＋22＋23＋?＋2n－n·2n＋1 2?1－2n?＝－n·2n＋1.
1－2所以Sn＝2－2n＋1＋n·2n＋1.
19.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)x2
之间的函数关系式可以近似地表示为y＝5－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
y
【解】 (1)每吨平均成本为x(万元)． yx8 000
则x＝5＋x－48≥2
x8 000x8 000·－48＝32，当且仅当5x5＝x，即x＝200时取等号．
∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元． (2)设年获得总利润为R(x)万元， x2
则R(x)＝40x－y＝40x－5＋48x－8 000
x21
＝－5＋88x－8 000＝－5(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)． ∵R(x)在[0,210]上是增函数，
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1
∴x＝210时，R(x)有最大值为－5(210－220)2＋1 680＝1 660.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．
20．(12分)已知定义域为R的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝ln x－ax＋1(a∈R)． (1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数y＝f(x)在R上恰有5个零点，求实数a的取值范围． 解析 (1)设x＜0，则－x＞0，∵f(x)是奇函数， ∴f(x)＝－f(－x)＝－ln(－x)－ax－1，
?ln x－ax＋1 ?x＞0?
当x＝0时，f(x)＝0，所以函数f(x)＝?0 ?x＝0?
?－ln?－x?－ax－1?x＜0?
.
(2)∵函数f(x)是奇函数，∴函数y＝f(x)的零点关于原点对称，由f(x)＝0恰有5个不同的实数根知5个实数根中有两个正根、两个负根、一个零根，且两个正根和两个负根互为相反数．
∴要使方程f(x)＝0恰有5个不同的实数根，只要使方程f(x)＝0在(0，＋∞)上恰有两个不同的实数根．
下面研究x＞0时的情况：
1
∵f′(x)＝x－a，∴当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数， ∴方程f(x)＝0在(0，＋∞)上不可能有两个不同的实数根． ?1?－a?x－a???
当a＞0时，f′(x)＝，
x1
令f′(x)＝0，得x＝a.
1
当0＜x＜a时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增； 1
当x＞a时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减， 1
∴函数f(x)在x＝a处取得极大值－ln a，
所以要使方程f(x)＝0在(0，＋∞)上恰有两个不同实数根， 只要－ln a＞0，解得0＜a＜1，故a的取值范围是(0,1)． 20
21．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26.{an}的前n项和为Sn. (1)求an及Sn；
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(2)令bn＝
(n∈N＋)，求数列{bn}的前a2n－1
1
n项和Tn.
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d，
由于a3＝7，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2. n?a1＋an?
由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝，所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
2(2)因为an＝2n＋1， 所以a2n－1＝4n(n＋1)，
1?11?1因此bn＝＝4?n－n＋1?.故Tn＝b1＋b2＋?＋bn
4n?n＋1???11111?1?1－＋－＋?＋－＝4? 223nn＋1???1?1?n＝4?1－n＋1?＝， ??4?n＋1?
n所以数列{bn}的前n项和Tn＝.
4?n＋1?2mx－m2＋1
22.已知函数f(x)＝(x∈R)．
x2＋1
(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)当m＞0时，求函数f(x)的单调区间与极值． 解析 (1)当m＝1时，f(x)＝
2x4
，f(2)＝
5， x2＋1
2?x2＋1?－4x22－2x26
又f′(x)＝＝，则f′(2)＝－
25. ?x2＋1?2?x2＋1?2所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 46
y－5＝－25(x－2)，即6x＋25y－32＝0. 2m?x2＋1?－2x?2mx－m2＋1?
(2)f′(x)＝
?x2＋1?2－2?x－m??mx＋1?＝，
?x2＋1?21
令f′(x)＝0，得x1＝－m，x2＝m， 1
因为m＞0，所以－m＜m，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
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x f′(x) f(x) 1???－∞，－m? ??－ ↘ 1－ m0 极小值 ?1??－m，m? ??＋ ↗ m 0 极大值 (m，＋∞) － ↘ 1???1?所以f(x)在区间?－∞，－m?，(m，＋∞)上为减函数，在区间?－m，m?上为增函数．
??故函数f(x)的极小值为f??－1m???＝－m2?，
极大值为f(m)＝1.
??- 8 -