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H4?{e,d,f}?f0,aH4?{a,b,c}?f1
故商群D3H4是二阶循环群Z2。
1.4群的同构与同态
定义1.10 若从群G到群F上，存在一个一一对应的满映射?，而且?保持群的基本运算规律（乘法）不变；即群G中两个元素乘积的映射，等于两元素映射的乘积，则称群G和群F同构，记为G?F。映射?称为同构映射。
同构映射可由图1.2表示： 其中?:G?F gi?fi gj?fj gigj?fifj
同构映射?，把G的单位元素g0映为F的单位元素f0，因对任意fi?G,?:gi?fi。 设?:g0?f0'，则有?:g0gi?gig0?gi?f0'fi?fif0'?fi
故f0'?f0,f0'必为F的单位元素f0。同构映射?，还把G的互逆元素gi,gi?1映为的互逆元素fj,fj。
由于同构映射?是一一满映射，故逆映射?恒存在，?把F映为G，而且?保持群的乘法规律不变，即
?1?1?1?1??1:F?G
fi?gi
fj?gj fifj?gigj
所以当群G和群F同构，必有群F与群G同构，F?G。
两个同构的群，不仅群的元素间有一一对应关系，而且他们所满足的乘法规律间也有一一对应关系。因此从数学角度看，两个同构的群具有完全相同的群结构。作为抽象的群来说，两个同构的群本质上没有任何区别。
例13 空间反演群{E,I}和二阶循环群Z2?{a,a2?e}同构。 例14 三阶对称群S3和正三角形对称群D3同构。
例15 群G的两个互为共轭的子群H和K是同构的。因为存在g?G，使h??H与
k??K有一一对应关系，h??gk?g?1,k??g?1h?g
以上各个同构的群，有完全相同的乘法表。因此作为抽象的数学群来说，它们是一样的。当然，对同一抽象群，当它用于不同的物理或几何问题时，它将代表不同的物理或几何意义。这和初等数学中2+3=5可以代表不同对象相加是同样的。
定义1.11 设存在一个从群G到群F上的满映射?，?保持群的基本规律（乘法）不变；即G中两个元素乘积的映射，等于两个元素映射的乘积，则称群G与群F同态，记为G~F。映射?称为从G到F上的同态映射。 图1.3表示从G到F上的同态映射?: 其中?:G?F
gi?fi
gj?fj gigj?fifj
也有定义从群G到群F中的同态映射?，这时?保持群的乘法规律不变，但并不是满映射。以后如不特别说明，我们说同态，是指从群G到群F上的同态。
一般说，同态映射?并不是一一对应的。即对群F中的一个元素fi，G中可能不止一个元素gi,gi',?,与之对应。因此群G与群F同态，并不一定有群F与群G同态。 同构是一种特殊的同态，即当同态映射?是一一映射时，同态就是同构。因此若群G与群F同构，则G必与F同态。反之，若群G与群F同态，G与F不一定同构。
任何群G与只有单位元素的群Z1?{e}同态。这种同态是显然的，一般不考虑这种同态。
定义1.12 设群G与群F同态，G中与F的单位元素f0对应的元素集合H?{h?}，称
为同态核。
定理1.6（同态核定理）设群G与群F同态，则有 （1） 同态核H是G的不变子群；
（2） 商群GH与F同构。 同态核定理可以用图1.4表示。
证明 先证明同态核H是G的子群。
对任意h?,h??H，有?:h??f0,h??f0,h?h??f0
故h?h??H。因此同态核中二元素h?h??f0，的乘积仍在H中。而且由于同态映射把单位元素映为单位元素，故H含有G的单位元素g0，因设?:g0?f0，则对任意gi?G，
'
有?:gi?fi,
g0gi?gig0?gi?f0'fi?fif0'?fi,
f0'?f0
?1?1于是，如果h??H，必有h??H。否则，设h??H， ?1?:h??f0'?f0
?1而又有?:h?h??g0?f0'f0?f0
?1这不可能，因此若h?属于H，必有h?属于H。这就证明了H是G的子群。
再证同态核H是G的不变子群。
对h??H，与h?同类的元素为gih?gi?1，g?是群G的任意元素。同态映射?有以下作用。
?:gi?fi,gi?1?fi?1,gih?g?1i?fif0fi?f0?1
故所有与h?同类的元素gih?gi?1?H。H是G的不变子群。
最后证明商群GH与F
同构。包括H的陪集串，
因为同态映射?保持H?{h?},g1H?{g1h?},?,giH?{gih?},?是商群GH的元素。
群的乘法规律不变，故只要证明陪集串的元素与F的元素有一一对应，就证明了GH与F同构。
首先，H的一个陪集giH?{gih?}对应F的一个元素，设?:gi?fi，则
?:gih??fi，对任意h??H。其次H的不同陪集giH,gjH，对应F中的不同元素，
因为giH和gjH不同，由陪集定理可知，它们没有公共元素。设?:gi?fi,gj?fj，假设fi?fj，则
?1?:giha?fif0?fi,gi?1gjh??fi?1fjf0?f0
得到gigjh??H，giH和gjH重合。这与假设矛盾，故fi?fj
因此H的陪集与F的元素有一一对应关系，商群GH与F同构。定理证毕。
从图1.4可以看到，如群G与群F同态，同态映射为?。G中对应F单位元素f0的
元素集合{h?}是G的一个不变子群H。H陪集串中的每一个陪集giH，唯一地对应F中的一个元素fi。F中的一个元素fi也唯一地对应H的一个陪集giH。已知各个陪集中元素数目相同，故G中与F的每一个元素对应的元素数目是相同的。
同态核定理，说明同态映射保持群的乘法规律不变，它是关于同态性质的重要定理。在处理各种群的问题中，我们会经常用到它。
例16 D3群与二阶循环群Z2同态。同态核是不变子群H?{e,d,f}，陪集是
aH?{a,b,c}。图1.5表示这个同态映射。
定义1.13 群G到自身的同构映射v，称为G的自同构映射v:G?G。
即对任意g??G。有v(g?)?g??G,而且保持群的乘法规律不变，
v(g?g?)?v(g?)v(g?)。故自同构映射v总是把群G的单位元素g0映为g0，把互逆元素
?1?1映为互逆元素g?和g?。 g?和g?定义1.14 定义两个自同构v1和v2的乘积v1v2，为先实行自同构映射v2，再实行自同构
映射v1。 恒等映射v0对应单位元素。每个自同构映射v有逆v存在。于是群G的所有自同构映射v构成一个群，称为群G的自同构群，记为A(G)或Aut(G)。A(G)的子群也称为G的一个自同构群。
如果群G的自同构映射?，是由u?G引起，即对任意g??G，有?(g?)?ug?u?1 则称?是G的内自同构映射。
与定义自同构的乘法一样，可以定义内自同构的乘法。于是群G的所有内自同构?构成一个群，称为群G的内自同构群，记为I(G)或In(G)。内自同构群I(G)是自同构群
?1A(G)的一个子群，而且是A(G)的不变子群。因为对任意??I(G)，与?同类的元素为
v?v?1，其中v?A(G)，设v?1(g?)?g?，则
v?v?1(g?)?v?(g?)?vug?u?1?v(u)v(g?)v(u?1)?v(u)g?v(u?1)vg?v?I(G)其中v?v(u)?G，故I(G)是A(G)的不变子群。
?1
例17 三阶循环群Z3?{e,a,a2}的自同构群A(Z3)有两个元素，