发布时间 : 星期二 文章近十份大学微积分下期末试题汇总（含答案）更新完毕开始阅读
解：
??D22xyyd???dx?dy1xxx. …（4分）
329??xdx?14 …（6分） 2f(t)dt?2xf(x)?x?f(x)07、已知连续函数满足，且f(1)?0，求f(x)。 x解：关系式两端关于x求导得：
f(x)?2f(x)?2xf?(x)?1f?(x)?1即
2xf(x)??12x 这是关于
f(x)的一阶线性微分方程，其通解为：
?dxdx
f(x)?e?2x(?(?1)e?2x2x?c)
1(?x?c)?c =
xx?1 (x)?11又f(1)?0，即c?1?0，故c?1f，所以
x? y???2y?28、求解微分方程
1?y=0 。
???pdpdp2解：令y??py，则
dyp?p2?0，于是原方程可化为：dy1?y dp?2p?0??21dy2 即dy1?y，其通解为p?c1e?y?c1(y?1) ?dy?c2dy dx1(y?1)?c1dx 即(y?1)2
y?1?1故原方程通解为：
c1x?c2 ?(x?9、求级数
?2)nn?13n的收敛区间。 tn解：令3R?liman?limn?1?t?x?2,幂级数变形为??3n?1nt,n??an?1n??3n1. 第 21 页 共 92 页
…（2分）
…（5分）
…（6分）
…（3分）
…（5分）
…（6分）
…（3分）
当t??1时,级数为n?0?(?1)n?13n收敛；
当t?1时,级数为n?1??13n发散.
故n?1??tn3n的收敛区间是It?[?1,1), …（5分）
(x?2)n?3n的收敛区间为Ix?[1,3). …（6分） 那么n?1?sin(2n?x)?n!10、 判定级数n?1是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。
?
解：因为
sin(2n?x)1?n!n! …（2分）
1?由比值判别法知n?1n!收敛(
?1(n?1)!lim?0n??1n!)， …（4分）
sin(2n?x)?n!收敛，所以级数n?1绝对收敛. …（6分）
?从而由比较判别法知n?1??sin(2n?x)n!四、证明题(每小题5分,共10分)
1、设正项级数n?1?u?n收敛,证明级数n?1??unun?1也收敛。
1unun?1?(un?un?1)2证：， …（3分） 1?2(un?un?1)unun?1而由已知收敛，故由比较原则，?也收敛。 …（5分）
z?y1?z1?zz??f(x2?y2),其中f(u)为可导函数, 证明x?xy?yy2.
2、设
?z2xyf???2?xf证明：因为, …（2分）
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?zf?2y2f???yf2 …（4分）
1?z1?z2yf?f?2y2f?1z???2???22x?xy?yfyfyfy所以. …（5分）
一、填空题(每小题3分,共15分)
2z?yz?x?y?f(y?x)x?01、设，且当时，，则z? 。 22x?2xy?2x?y（）
2、计算广义积分
?2??1dxx2= 。（1）
2dz3、设z?ln(1?x?y)，则(1,2)12dx?dy?33 。（）
3x323x???y?6y?9y?5(x?1)e(ax?bx)e） 4、微分方程具有 形式的特解.（
3n?15?n5、级数n?19的和为 。（8）
?二、选择题(每小题3分,共15分)
1、
3sin(x2?y2)lim22x?0x?yy?0的值为 （ B ）
A、0 B、3 C、2 D、不存在 2、
fx(x,y)和fy(x,y)在(x0,y0)存在且连续是函数f(x,y)在点(x0,y0)可微的 （ B ）
A.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；
C.充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。 3、由曲面
z?4?x2?y24222x?y?4所围的体积是 （ B ） 和z?0及柱面
? A.
C、
2?0?d??r4?rdr0； B.
4?d??r4?r2dr2002；
?2?0d??20?4?rdr2； D.
4?2d??0204?r2dr
xy1?x2???y?py?qy?f(x)4、设二阶常系数非齐次微分方程有三个特解，y2?e，
y3?e2x，则其通解为 （D）
； B、
C1x2?C2ex?C3e2x A、
C1(ex?e2x)?C2(e2x?x2)；
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C、
x2?C1ex?C2e2x?2x2x2xx?C(e?e)?C(x?e) 12； D、
(?1)n?1?2pnn?15、无穷级数(p为任意实数) （A）
A、无法判断 B、绝对收敛 C、收敛 D、发散
三、计算题(每小题6分,共60分)
lim1、求下列极限：
2?xy?4x?0xyy?0。
lim解：
2?xy?44?(xy?4)?limx?0x?0xy(2?xyxy?4)y?0y?0 …（3分）
?lim
?1?11???x?02?4xy?42?2y?0 …（6分）
[0,]x?y?sinx22、y?0所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积。2、求由在区间上,曲线与直线
???解：
Vx???2sin2xdx0 …（4分）
1??2 4 …（6分） ?z?z,z?x?y。 e?xyz?xy3、求由所确定的隐函数z?z(x,y)的偏导数
zF(x,y,z)?e?xyz?xy 解：（一）令
?F?F?F??xz?x??yz?y?ez?xy则 ?x， ?y， ?z
利用公式，得
?F?z?yz?yyz?y???x??z?z?F?xe?xye?xy?z …（3分） ?F?z?xz?xxz?x?y????z?z?F?ye?xye?xy?z …（6分）
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