发布时间 : 星期五 文章17-18版 第6章 第5节 课时分层训练36更新完毕开始阅读
课时分层训练(三十六) 直接证明与间接证明
A组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的个数有( )
A．2个 C．4个
B．3个 D．5个
D [由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确．]
2．用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理实数根，则a，b，c中至少有一个是偶数．下列假设中正确的是( )
A．假设a，b，c至多有一个是偶数 B．假设a，b，c至多有两个偶数 C．假设a，b，c都是偶数 D．假设a，b，c都不是偶数
D [“至少有一个”的否定为“一个都没有”，即假设a，b，c都不是偶数．] 3．若a，b，c为实数，且a
又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，② 由①②得a2>ab>b2.]
4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，
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B．a2>ab>b2 baD.a>b
求证b2－ac<3a”索的因应是( )
A．a－b>0 C．(a－b)(a－c)>0
B．a－c>0 D．(a－b)(a－c)<0
C [由题意知b2－ac<3a?b2－ac<3a2 ?(a＋c)2－ac<3a2 ?a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0 ?－2a2＋ac＋c2<0 ?2a2－ac－c2>0
?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.]
yyzzxx
5．设x，y，z>0，则三个数x＋z，x＋y，z＋y( ) A．都大于2
C．至少有一个不小于2 C [因为x>0，y>0，z>0，
?yy??zz??xx??yx??yz??xz?
所以?x＋z?＋?x＋y?＋?z＋y?＝?x＋y?＋?z＋y?＋?z＋x?≥6，
????????????当且仅当x＝y＝z时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2.] 二、填空题
6．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设__________． x≠－1且x≠1 [“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．]
7．设a>b>0，m＝a－b，n＝a－b，则m，n的大小关系是__________.
【导学号：31222229】
m 法二(分析法)：a－b ba8．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使a＋b≥2成立的条件的个数是__________． 【导学号：31222230】 baba 3 [要使a＋b≥2，只要a>0，且b>0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．] 第 2 页 共 5 页 B．至少有一个大于2 D．至少有一个不大于2 三、解答题 9．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b. 【导学号：31222231】 [证明] 要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立， 只需证：2a3－b3－2ab2＋a2b≥0， 即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0， 即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.8分 ∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0， 从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立， ∴2a3－b3≥2ab2－a2b.12分 10.(2017·南昌一模)如图6-5-1，四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，M，N分别为SA，SC的中点，E为棱SB上的一点，且SE＝2EB. 图6-5-1 (1)证明：MN∥平面ABCD； (2)证明：DE⊥平面SBC. [证明] (1)连接AC，∵M，N分别为SA，SC的中点，∴MN∥AC， 又∵MN?平面ABCD，AC?平面ABCD， ∴MN∥平面ABCD.5分 (2)连接BD，∵BD2＝12＋12＝2，BC2＝12＋(2－1)2＝2， BD2＋BC2＝2＋2＝4＝DC2，∴BD⊥BC. 又SD⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，∴SD⊥BC， ∴SD∩BD＝D，∴BC⊥平面SDB.8分 第 3 页 共 5 页 ∵DE?平面SDB，∴BC⊥DE. 又BS＝SD2＋BD2＝4＋2＝6， 6 当SE＝2EB时，EB＝3， 6EB33BD23 在△EBD与△DBS中，BD＝＝3，BS＝＝3， 26EBBD ∴BD＝BS.10分 又∠EBD＝∠DBS，∴△EBD∽△DBS， ∴∠DEB＝∠SDB＝90°，即DE⊥BS， ∵BS∩BC＝B，∴DE⊥平面SBC.12分 B组 能力提升 (建议用时：15分钟) ?a＋b??2ab??1??，1．已知函数f(x)＝?2?x，a，b是正实数，A＝f?B＝f(ab)，C＝f?a＋b?， ???2???则A，B，C的大小关系为( ) 【导学号：31222232】 A．A≤B≤C C．B≤C≤A B．A≤C≤B D．C≤B≤A a＋b2ab?1?A [∵2≥ab≥，又f(x)＝?2?x在R上是减函数． ??a＋b?a＋b??2ab??≤f(ab)≤f?a＋b?，即A≤B≤C.] ∴f? ?2??? 2．在不等边三角形ABC中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足__________． 222 b＋c－a a2>b2＋c2 [由余弦定理cos A＝<0，得b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋ 2bc c2.] 3．若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a 13 (1)设g(x)＝2x2－x＋2是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值； 第 4 页 共 5 页 (2)是否存在常数a，b(a>－2)，使函数h(x)＝ 1 是区间[a，b]上的“四维x＋2 光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由． 1 [解] (1)由题设得g(x)＝2(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增.2分 由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b， 13 即2b2－b＋2＝b，解得b＝1或b＝3. 因为b>1，所以b＝3.5分 (2)假设函数h(x)＝因为h(x)＝ 1 在区间[a，b](a>－2)上是“四维光军”函数， x＋2 1 在区间(－2，＋∞)上单调递减， x＋2 ?h?a?＝b， 所以有? ?h?b?＝a， 1??a＋2＝b，即?1??b＋2＝a， 10分 解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在.12分 第 5 页 共 5 页