发布时间 : 星期三 文章2018年中考数学真题分类汇编(第三期)专题9一元二次方程及其应用试题(含解析)更新完毕开始阅读
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x1+x2=11，求k的值．
【分析】（1）根据方程有实数根得出△=[﹣（2k﹣1）]﹣4×1×（k+k﹣1）=﹣8k+5≥0，解之可得．
（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x﹣（2k﹣1）x+k+k﹣1=0有实数根， ∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]﹣4×1×（k+k﹣1）=﹣8k+5≥0， 解得k≤．
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k+k﹣1，
∴x1+x2=（x1+x2）﹣2x1x2=（2k﹣1）﹣2（k+k﹣1）=2k﹣6k+3， ∵x1+x2=11，
∴2k﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1， ∵k≤， ∴k=4（舍去）， ∴k=﹣1．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
4．（2018·辽宁省沈阳市）（8.00分）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元． 假设该公司2.3.4月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测4月份该公司的生产成本．
【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论． 【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x， 根据题意得：400（1﹣x）=361，
解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）． 答：每个月生产成本的下降率为5%． （2）361×（1﹣5%）=342.95（万元）．
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一
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元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
5．（2018·重庆市B卷）（10.00分）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍． （1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？
（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．
【分析】（1）设2018年前5个月要修建x个沼气池，则2018年前5个月要修建（50﹣x）个垃圾集中处理点，根据沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论；
（2）根据单价=总价÷数量可求出修建每个沼气池的平均费用，进而可求出修建每个垃圾集中点的平均费用，设y=a%结合总价=单价×数量即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，进而可得出a的值．
【解答】解：（1）设2018年前5个月要修建x个沼气池，则2018年前5个月要修建（50﹣x）个垃圾集中处理点， 根据题意得：x≥4（50﹣x）， 解得：x≥40．
答：按计划，2018年前5个月至少要修建40个沼气池．
（2）修建每个沼气池的平均费用为78÷[40+（50﹣40）×2]=1.3（万元）， 修建每个垃圾处理点的平均费用为1.3×2=2.6（万元）．
根据题意得：1.3×（1+a%）×40×（1+5a%）+2.6×（1+5a%）×10×（1+8a%）=78×（1+10a%）， 设y=a%，整理得：50y﹣5y=0， 解得：y1=0（不合题意，舍去），y2=0.1， ∴a的值为10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍，列出关于x的一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
6. （2018?呼和浩特?7分）已知关于x的一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有两个实数根
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x1，x2，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式，证明x1?x2=． 解：∵ax+bx+c=0（a≠0）， ∴x+x=﹣， ∴x+x+（
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）=﹣+（
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），
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即（x+
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）=，
∵4a＞0，
∴当b﹣4ac≥0时，方程有实数根， ∴x+
=±
，
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∴当b﹣4ac＞0时，x1=当b﹣4ac=0时，x1=x2=﹣
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，x2=
；
；
∴x1?x2====，
或x1?x2=（﹣）=
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==，
∴x1?x2=．
7. （2018?乐山?10分）先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）+（2m）÷（﹣8m），其中m是方程x+x﹣2=0的根
解：原式=4m﹣1﹣（m﹣2m+1）+8m÷（﹣8m） =4m﹣1﹣m+2m﹣1﹣m =2m+2m﹣2 =2（m+m﹣1）．
∵m是方程x+x﹣2=0的根，∴m+m﹣2=0，即m+m=2，则原式=2×（2﹣1）=2． 7. （2018?乐山?10分）已知关于x的一元二次方程mx+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）． （1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）若抛物线y=mx+（1﹣5m）x﹣5=0与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；
（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a﹣n+8n的值．
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（1）证明：由题意可得： △=（1﹣5m）﹣4m×（﹣5） =1+25m﹣20m+20m
=25m+1＞0，故无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）解：mx+（1﹣5m）x﹣5=0，解得：x1=﹣，x2=5，由|x1﹣x2|=6，得|﹣﹣5|=6，解得：m=1或m=﹣
；
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（3）解：由（2）得：当m＞0时，m=1，此时抛物线为y=x﹣4x﹣5，其对称轴为：x=2，由题已知，P，Q关于x=2对称，∴
=2，即2a=4﹣n，∴4a﹣n+8n=（4﹣n）﹣n+8n=16．
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