发布时间 : 星期三 文章2019-2020年高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题4立体几何第10讲立体几何中的向量方法教学案理(I)更新完毕开始阅读
[解] (1)证明：由题设可得△ABD≌△CBD，从而AD＝CD. 又△ACD是直角三角形， 所以∠ADC＝90°.
取AC的中点O，连接DO，BO， 则DO⊥AC，DO＝AO.
又因为△ABC是正三角形，故BO⊥AC， 所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角． 在Rt△AOB中，BO＋AO＝AB，
又AB＝BD，所以BO＋DO＝BO＋AO＝AB＝BD， 故∠DOB＝90°. 所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直，
→→
以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，|OA|为单位长度，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则A(1,0,0)，B(0，3，0)，C(－1,0,0)，D(0,0,1)．
1
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离
21
为D到平面ABC的距离的，
2即E为DB的中点，得E?0，
??31?，?， 22?
→→
故AD＝(－1,0,1)，AC＝(－2,0,0)，
AE＝?－1，
→?
?
31?，?. 22?
设n＝(x，y，z)是平面DAE的法向量， →??n·AD＝0，
则?
→??n·AE＝0，可取n＝?1，
－x＋z＝0，??
即?31
－x＋y＋z＝0，?22?
?
?3?，1?. 3?
→??m·AC＝0，
设m是平面AEC的法向量，则?
→??m·AE＝0，同理可取m＝(0，－1，3)， 则cos〈n，m〉＝
n·m7
＝. |n||m|7
7. 7
所以二面角D-AE-C的余弦值为2．(2017·全国Ⅰ卷)如图10-8，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
图10-8
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A-PB-C的余弦值． [解] (1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD. 因为AB∥CD，所以AB⊥PD. 又AP∩DP＝P，所以AB⊥平面PAD.
因为AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. (2)在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为点F.
由(1)可知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD.
→→以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB|为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.
由(1)及已知可得A?
2??22?2?????
，0，0?，P?0，0，?，B?，1，0?，C?－，1，0?，
2??2?2????2?
→?22?→
所以PC＝?－，1，－?，CB＝(2，0,0)，
2??2→
PA＝?
2?→?2
，0，－?，AB＝(0,1,0)．
2??2
设n＝(x1，y1，z1)是平面PCB的一个法向量，则
→??n·PC＝0，?
→??n·CB＝0，
22?
?－x1＋y1－z1＝0，
2即?2
??2x1＝0.
所以可取n＝(0，－1，－2)．
设m＝(x2，y2，z2)是平面PAB的一个法向量，则 →??m·PA＝0，
?
→??m·AB＝0，
??2x2－2z2＝0，
2即?2
??y2＝0.
所以可取m＝(1,0,1)，则cos〈n，m〉＝
3
. 3
n·m－23
＝＝－.
|n||m|33×2
所以二面角A-PB-C的余弦值为－