发布时间 : 星期一 文章复变函数基本定义更新完毕开始阅读
定义
邻域－定义1.1 点
聚点、内点、孤立点－定义1.2 给定点集任一邻域内都有
，又非
内点。若的全体称为
开集、闭集－定义1.3 若点集为内点，则称
有界性－定义1.4 点集
区域－定义1.5 非空开集的折线连接。
闭域－定义1.6 区域
约当曲线－定义1.7 设则由方程
所决定的点集别称为
单连通区域－定义1.8 设
为复平面上的区域，若在
内无论怎样划简单闭曲线，其内部
，称为复平面上的一条连续曲线。上式称为
的参数方程
分
是实变数的两个实函数，在闭区间
上连续，
加上它的边界
称为闭域，记为：
。
称为区域，若
是连通的，即：
中任意两点可用全在
中
称为有界集，若
使
有
。
为开集。
的每个聚点都属于
，则称
为闭集；若点集
的点皆
的无穷多个点。 若的聚点，则称
为
，及点，但非
的外点。若和不属于
。称
为
的聚点或极限点指：
为
的
的
邻域指：
的聚点，则称有一邻域全含于的点，则称
为
的孤立点; 若
为
的
内，则称
的任一邻域内，同时有属于的边界。记作
。
的边界点。边界点
的起点和终点 。
仍全含于
，则称为单连通区域；非单连通区域称为多连通区域。
复变函数－定义1.9 设则称在穷多个
为一复数集，若对内每一复数，有唯一确定的复数与之对应，
。 若对
内每一复数，有几个或无
。
上确定了一个单值函数与之对应，则称在
上确定了一个多值函数
复变函数的极限－定义1.10 设使
，
， 只要
有极限
，并记为
，为的聚点。若存在一复数，
，就有
则称
连续函数－定义1.11 设
沿
于
。
子点集上有定义，为的聚点，且。若
即对任给的
，
，只要
连续。
，
，就有
则称
复球面 复平面加上点
沿
于
后称为扩充复平面，与它对应的就是整个球面，称为复球面。
无穷远点 考虑平面上一个以原点为心的圆周，在球面上对应的也是一个圆周。当圆周的半径越大时，圆周就越趋北极。北极可以看成是与平面上的一个模为无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷远点，并记为
约当定理－定理1.1 任一简单闭曲线集且满足
（1）彼此不交
将平面唯一地划分成
三个点
。
主要定理
（2） （3）
是一个有界区域（称为是一个无界区域（称为
的两个端点分属
的内部） 的外部）
，
则
必与
有交点。
（4）若简单折线
极限的计算定理－定理1.2 设函数
，则
于点集上有定义，
的充要条件是
连续函数定理－定理1.3 设函数则点
一致连续定理－定理1.4 设函数 （1）在 （2） （3）点
及
上在在，均有
有界，即
沿
在点连续。
于点集上有定义，
，
沿
，于
连续的充要条件是：二元实变函数
在有界闭集，使
上连续，则
。
上有最大值与最小值。 上一致连续。即
，
使对
上满足
的任意两
定义
复变函数的导数－定义2.1 设函数
在点
的某邻域内有定义，考虑比值
若当导数，记为
（或
。即
）时，上面比值的极限存在，则称此极限为函数在点的
此时称
解析函数－定义2.2 如果函数数，或称
奇点－定义2.3 若则称
复指数函数－定义2.4 对于任何复数
易知，复指数函数有下列性质： （1） 它是实指数函数的自然推广 （2） （3）
在平面上处处解析，且
。
。 。
为
在点
不解析，但在
在区域
内解析。
在区域
在点
可导。
。 （2.1）
内可微，则称微区域内的解析函
的任一邻域内总有的解析点，
的奇点。
规定复指数函数为
。
（4） 加法定理成立，即 （5）
是以
为基本周期的周期函数。 不存在。
（6） 极限
三角函数－定义2.5 称
分别为复数的正弦函数和余弦函数。 复正弦函数和余弦函数有以下性质：