发布时间 : 星期日 文章小学数学难题解法大全 第三部分 常用解题方法(二~一)一般解题方法更新完毕开始阅读
小学数学难题解法大全 第三部分 常用解题方法（二之一）一般解题方法
（一）一般解题方法
【图示法】 解答竞赛题时，尽管题目内容复杂多变，或者已知条件十分抽象，但可以用图形（线段图、直观图、示意图）把题中的条件和问题形象、具体地表示出来，以帮助我们揭示数量关系，正确地找到解答方法。这种解题方法就是图示法。
的服装3套，则剩下16.1米。这段布料全长多少米？ 分析：根据题意先画图观察（如图3.1）。
可知：做1套服装所用布料占这段布料的：
做3套服装所用布料占这段布料的：
剩下的布料16.1米的对应分率是：
由此可求出这段布料全长多少米。
答：这段布料全长24.5米。
例2 把一个长方体的高减少4厘米，就得到一个底面不变的正方体，它的表面积比原来减少了112平方厘米。这个正方体的体积是多少？
分析：这是一道比较抽象的图形的求积题，需要有一定的空间想象能力。通过画图（如图3．2），可以帮助理解两个关键问题。一是把长方体的高减少4厘米后，得到一个底面不变的正方体，这个正方体的六个面都是正方形。二是长方体变成正方体后，它的表面积减少的部分是以4厘米为高的这个长方体的侧面积（而不含阴影部分的面积）。根据已知条件，可知将这个侧面积展开是一个宽4厘米、面积为112平方厘米的长方形，由此可求出它的长，也就是得到的正方形的一个面的周长。112÷4＝28（厘米） 则正方体的棱长为：28÷4＝7（厘米） 由此可求出正方体的体积。
解：（112÷4÷4）3 ＝7×7×7
＝343（立方厘米）
答：这个正方体的体积是343立方厘米。
例3 在边长是6米的正方形花圃四周由里向外铺上三圈水泥砖，形成一个大的正方形，这种水泥砖每块是边长30厘米的正方形，共需要这种水泥砖多少块？（中南地区小学数学竞赛试题）分析：此题是一道空心方阵问题。根据方阵里外相邻两层每边数相差2的特点，可求出方阵最里层每边有方砖是600÷30＋2＝22（块），因为是3层，所以最外层每边有方砖是22＋2×（3－1）＝26块。
由题意画一个空心方阵图（如图3．3），阴影部分表示方砖数，把这个图的阴影部分划分成相等的四个小块，只需求出一小块里面有多少块砖，便可求出一共有多少块砖。 解：（26－3）×3×4＝276（块）
答：共需方砖276块。
例4 一组割草人去两块草地割草，他们的工效都相等。大的一块草地比小的一块大一倍。上午全组人都在大的一块草地割草，下午一半人留在大草地上，到傍晚时把草割完。另一半人就到小草地上去割，到傍晚时还剩下一块，这一块若由一个人去割，正好一天可以割完。问全组共有多少名割草人？
分析：这是一道俄国名题，乍看起来数量关系比较复杂，若根据题意先画一个图，题意就一目了然了。先画一个长方形表示大的一块草地，连着这个长方形再画一个面积是它的一半的小长方形，表示小的一片草地，如图3．4所示。
答：全组共有8名割草人。
例5 AB两站从6：00—19：00，每隔10分钟有一辆公共汽车同时相对开出。从A站到B站与从B站到A站运行的时间均为50分钟。现有一辆汽车上午9点出发从B站开往A站，问这辆汽车在运行途中遇到多少辆从A站开往B站的汽车？（“运行途中”是指出站后至进站前所经过的路段。）
分析与解答：考虑问题时应想到这辆从B站开往A站的车，在出发前A站已每隔10分钟向B站发车，那么这辆车在运行途中会遇到多少辆从A站开往B站的车呢？可用图示法解答。
分别从AB两站画两条平行的时间轴，每两点之间的线段表示一个时间段（10分钟）。汽车9点从B站开出，9点50分到达A站，在B轴上用“0”表示发车时间，A轴上用5表示到达时间，AB两站相对开出的车辆用斜线表示。这样一来，就把所求的问题转化成“0—5”连线与多少条斜线相交的问题。如图3.5所示。
由图可知，这辆汽车在运行途中，遇到了9辆从A站开往B站的汽车。
注：这类问题经常被称为“柳卡问题”，这是因为法国数学家柳卡（也译作“刘卡”）在一次国际会议期间最先提出这类问题。在匈牙利，它则被称为“邮车相遇问题”，因为匈牙利著名作家卡尔曼·米克沙特所著的名著《奇婚配》中，有一个类似的邮车相遇算题。解这类问题的图，称之为“时间一路程图”，或称之为“运行图”。
【列表法】 解题时把题中的条件进行分类整理，用表格的形式进行有序排列，使条件与条件之间，条件与问题之间的关系条理化、明朗化，有利于探求解题的思路，从而达到解决问题的目的。这种方法就是列表法。
例1一个圆的周长是1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行，这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米。它们每爬行1秒、3秒、5秒??（连续奇数），就调头爬行。那么，它们相遇时，已爬行的时间是______秒。（1992年小学数学奥林匹克初赛试题）
分析：两只蚂蚁是在边进边退中相向爬行，要求出它们相遇的时间，就有一定困难。圆的周长是1.26米（126厘米），半圆的弧长则是63厘米，两只蚂蚁共同爬行63厘米所用的时间就是它们相遇的时间。两只蚂蚁每秒钟一共爬行了
5.5＋3.5＝9（厘米）
假定两只蚂蚁第1秒钟都往上半圆相向爬行，则它们共同爬行了9厘米。这时，它们调头向下爬行3秒钟，共爬行了
9×3＝27（厘米）
相对它们出发时的地点下降了
27－9＝18（厘米）
这时，它们又调头问上爬行5秒钟，共行9×5＝45（厘米），相对出发时的地点向上爬行了 45－18＝27（厘米） 依此类推，列出下表：
从上表可以看出，在蚂蚁连续向上爬行了13秒钟的时候，正好相遇。这时蚂蚁一共爬行了 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝49（秒）
答：它们相遇时，已爬行的时间是49秒。
分析：根据工作效率＝工作量÷时间，列下表：
解：从上表可知师傅与徒弟两人工作效率的比为：
答：师傅与徒弟两人工作效率的比是5∶3。
例3长方形ABCD周长为16米，在它的每条边上各画一个以该边为长的正方形（如图3.6）。已知这四个正方形的面积的和是68平方米，求长方形ABCD的面积。（第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试题）
分析：要求长方形ABCD的面积，必须知道长方形的长与宽各是多少，若用算术方法或列方程解答都比较难，改用列表法解答则比较容易。由“长方形ABCD的周长是16米”，“四个正方形的面积的和为68平方米”这两个条件，以及长方形对边相等的性质，可以推出 长＋宽＝8（米）
长2＋宽2＝68÷2＝34（平方米） 根据推论列表如下：
解：分析上表，符合条件的长应该是5米，宽应该是3米， 则长方形ABCD的面积为 5×3＝15（平方米）
答：长方形ABCD的面积是15平方米。
例4有若干只重量相同的箱子共重10吨，且每只箱子的重量不少于1吨。用载重3吨的汽车一次将箱子运走，至
少需要__辆车子。（1993年全国小学生数学竞赛决赛试题） 分析：由“每只箱子的重量不少于1吨”，每辆汽车“载重3吨”的条件，可知每一箱子的重量的取值范围是1≤3。由于箱子的只数只能是自然数，根据“若干只重量相同的箱子共重10吨”的条件，可知箱子的只数是10、9、8、7、6、5、和4这七种情况。
要注意的是，若每只箱子的重量是1吨，则共有10只箱子，用3辆汽车每车装3只箱子，就还剩下1只箱子没有运走，故至少要4辆汽车才能一次运完。 根据条件和问题，列表解答如下：