发布时间 : 星期五 文章应力与应力状态分析更新完毕开始阅读
§4-4 梁横截面上的应力
弯曲是杆件的基本变形形式之一。梁平面弯曲时横截面上一般既有正应力又有切应力。 一、梁横截面上的正应力
横截面上只有弯矩而无剪力的梁段叫做纯弯曲梁段，既有弯矩又有剪力的梁段称为横力弯曲梁段。
（一）纯弯曲梁横截面上的正应力
设想梁是由无数根纵向纤维组成的，梁在正弯矩作用下，靠近顶面的纵向纤维缩短，靠近底面的纵向纤维伸长，由连续性假设知，从梁顶部到底部的纵向纤维由缩短到伸长是连续变化的。所以，其间必有一层纵向纤维既不伸长，也不缩短，该层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。中性轴将梁的横截面分成了两个区域， 中性轴以上的为受压区，中性轴以下为受拉区。
??梁在纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式：
MyIz
由上式知，梁横截面面上任一点处的正应力?，与截面上的弯矩M和该点到中性轴的距离y成正比，而与截面对中性轴的惯性矩Iz成反比。
（二）正应力公式的适用条件
1）由正应力计算公式（9-4）式的推导过程可知，它的适用条件是：①纯弯曲梁；②梁的最大正应力?不超过梁所用材料的比例极限?P；
2）由矩形截面推导出的公式（9-4），也适用于圆形、工字形、T形、圆环形等其它截面形式的梁。
3）横力弯曲是弯曲问题中最常见的情况，在这种情况下，梁横截面上不仅有正应力存在，而且还有切应力的存在。截面上存在的从上到下各点不均匀的切应力将引起不均匀的错动，因此，横截面不可能再保持为平面。而且由于横向力的存在，将引起梁纵向纤维间的相互挤压，因此，对于横力弯曲，纯弯曲时关于变形的两个假设均不成立。即切应力的存在对正应力的分布规律有影响。弹性理论的精确分析告诉我们，这种影响与梁的跨高比l/h有关，跨高比l/h越大，影响越小。即梁越是细长，影响越小。l/h>5时，横力弯曲时可近似地用纯弯曲时的正应力计算公式计算弯曲正应力。
对于T形截面梁，最大拉应力与最大压应力有可能不在同一截面上，其原因是中性轴不是对称轴。中性轴为对称轴时，?tmax与?Cmax在同一截面上，即在|M|max所在的面上；中性轴为非对称轴时，?Ltmax与?Cmax可能不在同一截面上，但只能在M+max或M-max所在的截面上。
二、梁横截面上的切应力
（一）矩形截面梁横截面上的切应力分布规律 两个假设：
(1) 截面上任何点处的切应力?方向与横截面的侧边平行，与剪力同向； (2) 切应力沿横截面宽度均匀分布，即距中性轴等距离处的各点的切应力相等。 根据弹性力学进一步的研究可知，以上两条假设，对于高度为h大于宽度b的矩形截面是足够准确的。有了上述两条假设，利用切应力双生互等定律，仅通过静力平衡条件，便可导出切应力的计算公式。
??*FQSzIzb
这就是弯曲切应力的一般表达式。
?sz式中为横截面上所求切应力作用点的水平横线以下（或以上）部分截面积对中性轴的面
积矩；
FQ为所要求切应力横截面上的剪力；b为所求切应力点处的截面厚度；Iz为横截面
对中性轴的惯性矩。
6FQh2 ??3(-y2) bh4对矩形截面梁。可见，矩形截面梁横截面上的切应力沿截面高度
按抛物线规律分布，上下边缘点处切应力为零，中性轴处切应力最大。
二、工程中常用截面的最大弯曲切应力 1． 矩形截面梁的最大弯曲切应力
?max?3FQ3FQ ??1.5?2bh2A
2．工字形截面梁的最大弯曲切应力
工字形截面梁由腹板和翼缘组成。横截面上的剪力绝大数由腹板承担，极少数由翼缘承
??担。对于腹板上的切应力仍可由公式
*FQSzIzb计算，腹板上的最大切应力可由下式计算
?max?式中，b为工字钢板厚度。 3.圆形截面梁的最大弯曲切应力
FQ?b(IZSZmax)
半径为R的圆截面梁，其最大切应力为：
?max?4FQ4FQ4???23?R3A3
§4-5 平面应力状态分析
平面应力状态的应力分析，也就是根据处于平面应力状态的点处某些截面上的已知应力确定通过该点其他截面上的应力，进而确定主应力和主平面。
一、任意方向面上的应力
?x??y???2??x??y2cos2???xsin2?
?x??y??＝
2sin2??xcos2?
单元体上任意两个互相垂直方向面上的正应力之和为常数。 二、主应力和主平面
主平面的方位角?0按下式计算：
2?x???ytg2?0??x
主应力计算公式：
?x??y2?i??x??y()??x2???j?22?
将由上式求得的两个主应力?i、三个主应力?1、?2和?3。
三、应力圆
?j与单元体零应力面上的零值主应力比较，便可确定
?x??y应力圆绘制在以σ为横坐标，τ为纵坐标的直角坐标系中，圆心坐标为（
(2，0），
?x??y2半径为
)2??x2。
⒉应力圆的作图方法
取???直角坐标系；选择适当的比例尺量取横坐标OB1=?x，纵坐标B1Dx=?x，得点Dx；同理，量取横坐标OB2=
?y，纵坐标B2Dy=
?y，得点
Dy（如图4-5-3b所示）；连DxDy，
与?轴交于C点，以C点为圆心，CDx（或
⒊应力圆的应用
⑴确定单元体任意斜截面上的应力
CDy）为半径作圆，即得单元体对应的应力圆。
若欲求单元体?面上的应力,可自应力圆上的Dx点按照单元体上?角的转向沿圆周转2?角至E点，E点的横、纵坐标值就代表了?面上的正应力??和切应力??。
应力圆与单元体存在着如下对应关系：
①点面对应——应力圆圆周上任一点的横、纵坐标值分别对应着单元体对应截面上的正应力和切应力。圆上任一直径两端点的坐标对应着单元体上互相垂直的两个平面上的应力。
②夹角两倍，转向相同——应力圆圆周上任意两点所引半径的夹角为单元体上对应两个截面外法线之间的夹角的两倍，而且二者的转向相同。
利用应力圆解题的关键是：点面对应，先找基准。若应力圆上以Dx点为基准，则单元体上应以x面为基准。
（2）确定主应力的大小和主平面的位置
应力圆与?轴的两个交点A1和A2的横坐标值分别为最大和最小，纵坐标值为零，这两个点分别对应着单元体上的两个主平面，因此这两个点的横坐标分别代表着两个主平面上的主应力大小。
主平面的位置也可以由应力圆来确定，在应力圆上以Dx点为基准，由Dx点沿圆周转至
?????9000A1点（或A2点）所对的圆心角为2（注意2），则在单元体上应以x面为基?????4500准，由其外法线x以相同的转向转角度（），这样就确定了?i（或j）所在主
平面的外法线。在应力圆上由A1点到A2点所对圆心角为180，则在单元体上，两个主应力?i和
??j所在主平面的外法线之间的夹角为90，说明两个主平面互相垂直。
?由确定主平面位置的解析式解出的两个角度?0和
?0/=?0?90?，分别代表着?i和?j?j的方向，还需加以判
的方向。若仅用解析式计算时，哪个角代表?i的方向，哪个角代表断。经分析可知，较大的主应力?i总是偏向于?x和
?y之中的较大者；较小的主应力
?j总
??y?y?????45xx0是偏向于和之中的较小者。当＝时，，主应力方向可直接由单元体
上的切应力指向判断。为便于记忆，上述规则可用口诀表述为：“大偏大，小偏小，夹角不比45?
大”。
§4-6 受力构件内一点处的最大应力
通过受力构件内任意一点处的最大正应力?max和最大切应力?max，都可以由该点的最大主应力?1和最小主应力?3所作的应力圆来确定，最大正应力?max也就是最大主应力?1，最大切应力?max为最大应力圆的半径，即：
?max??1