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G?E2(1??)上式表明3个常数只有2个是独立的
§4-2 轴向拉压杆与受扭杆横截面上的应力
一、轴向拉压杆横截面上的应力
由于轴向拉（压）杆横截面上只有均匀分布的拉（压）力，故横截面上各点只有正应力，且正应力相等。设轴向拉（压）杆横截面上轴力为应力为
FN，面积为A，则横截面上任一点的正
轴力
??FNA
FN为拉力时，正应力?取正号；FN为压力时，?取负号。
66221MP?10P?10N/m?1N/mmaa由于 ，因此，在计算应力值时，只要力的单
位换算为N，长度单位换算为mm，得到的应力单位就是
二、应力集中的概念
MPa。
等直杆不论受轴向拉力作用还是受轴向压力作用，其横截面上都只产生均匀分布的正应力，但是，若等直杆件横截面有局部削弱的情况（如开槽、钻孔等），即使外力仍是轴向拉压，被削弱横截面上的正应力也不再均匀分布。实测表明，在被削弱横截面上，靠近削弱部位的正应力急剧增大的现象，称为应力集中。
三、圆截面扭转杆横截面上的应力分布规律及其计算
圆杆受扭时，横截面上的内力是扭矩，该扭矩是横截面上切线方向分布内力的合力偶矩。也就是说，只发生扭转变形的圆轴横截面上有且只有切应力。
圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算公式为
?(?)?IP称为截面的极惯性矩。
Mx?IP
对于受扭圆轴，其横截面上切应力在圆轴边缘处达到最大，即：
?max?WP?Mx?maxMxr?IPIP
若令
IPr
WP称为抗扭截面系数，则又有
?max?MxWP
Ip、
Wp的计算
对于直径为d的圆截面杆：
IP??d432
WP??d316
对于空心圆截面杆，其内径为d，外径为D，内外径比值
??dD，有
IP??D432??d432??D432(1??)4
WP??D316(1??4)
四、矩形截面自由扭转杆的扭转切应力
非圆截面杆扭转时，若截面翘曲不受约束，这时杆的横截面上只有切应力而没有正应力，这种扭转称为自由扭转。若杆端存在约束或杆的各截面上扭矩不同，这时，横截面的翘曲受到限制，因而各截面上翘曲程度不同，这时杆的横截面上除有切应力外，还伴随着产生正应力，这种扭转称为约束扭转。由约束扭转产生的正应力，在实体截面杆中很小，可不予考虑；但在薄壁截面杆中，却不能忽略。
1、矩形截面杆的扭转
矩形截面杆扭转时，横截面周边上各点处的切应力平行于周边，凸角处和截面形心处无切应力存在，长边中点处的切应力是整个横截面上的最大切应力。
2、开口薄壁截面杆的扭转
工程中广泛采用薄壁杆件。薄壁杆件横截面的壁厚平分线称为中线。若中线是一条不闭合的线，这种杆称为开口薄壁截面杆；若中线是一条闭合线，这种杆称为闭口薄壁截面杆。
可以证明，形状和尺寸相同的闭口薄壁截面与开口薄壁截面相比，在相同的外力偶矩作用下，前者所产生的最大切应力和最大扭转角比后者小得多，即闭口薄壁截面形式的受力和变形性能比开口薄壁截面好。
§4-3 截面的几何性质
一、 研究截面几何性质的意义
不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小及杆件的尺寸，且与杆件截面的几何性质有关。研究杆件的应力与变形，研究杆件的强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形的几何形状和尺寸有关的量，这些量统称为截面的几何性质。例如形心、静矩、
惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积等。
二、形心、静矩及其相互关系 定义下列积分：
Sy??zdAA
Sz??ydAA
3分别为图形对于y轴和z轴的静矩，其单位为m。
图形几何形状的中心称为形心，可以将面积看作垂直于图形平面的均匀分布力，则形心即为合力的作用点。设yc、zc为形心坐标，根据合力矩定理有：Sz?yc?A；Sy?zc?A。
由上述定义可以得出结论：
1 静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。对有些坐标轴为正，对有些为负；对于通过形心的坐标轴为零。
2如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，就可以计算图形的静矩。
实际计算中，对于简单的规则的图形，其形心位置可以直接判断，例如矩形、正方
形、圆形、正三角形等图形形心位置是显而易见的。对于组合图形，则先将其分解为若干简单图形（可以直接确定形心位置的图形）；然后由式Sz?yc?A及Sy?zc?A分别计算它们对于给定坐标的静矩，并求代数和；再利用式Sz?yc?A及Sy?zc?A既可得组合图形的形心坐标。
三、 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 定义下列积分：定义积分定义积分
Iy??z2dAA、
Iz??y2dAA分别为图形对y轴和z轴的截面惯性矩。
IP???2dAAA为图形对于点O的极惯性矩。
为图形对于y、z两个坐标轴的惯性积。
Iyz??yzdA定义
iy?IyA ，
iz?IzA分别为图形对于坐标轴y、z的惯性半径。
由上述定义可知：
1、惯性矩和极惯性矩恒为正；而惯性积则由于坐标轴位置的不同，可能为正，也可能为负。三者的单位均为m或mm。
222??z?y2、因为，所以由上述定义有：
44IP???2dA??(y2?z2)dA?Iy?IzAA
3、根据极惯性矩的定义，可以计算出圆截面对于其形心的极惯性矩为：
πd4πR4IP?IP?2 32或
式中，d为圆的直径；R为圆的半径。
类似地，还可以得到圆环截面对于圆环中心的极惯性矩为：
πD4d??IP?(1??4)D 32
式中，d为圆环内径，D为圆环外径，如图4-3-3所示。
4．根据惯性矩的定义，可以计算出圆截面对于通过其形心的任意轴惯性矩为：
IZ?Iy??d464
对于内径为d，外径为D的圆环截面
IZ?Iy??D464(1??4)
??dD
对于坐标轴过形心点且分别平行于两边的矩形截面，其惯性矩为：
bh3hb3IZ?，Iy?1212
可以看出，应用定义进行积分，可以计算各种简单图形对于给定坐标轴的惯性矩。 另外，对于由简单几何图形组合而成的图形，为避免复杂的数学运算，一般不采用积分的方式计算惯性矩；而是利用简单图形的惯性矩计算结果以及图形对于平行轴惯性矩之间的关系，由求和的方式求出。
四、惯性矩平行移轴公式
1、图形对于任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。
2、 因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。
六、主惯性轴与形心主惯性轴、主惯性矩与形心主惯性矩
定义：过一点存在这样一对坐标轴，图形对于其惯性积等于零，这一坐标轴便称为过这一点的主轴。图形对于主轴的惯性矩称为主轴惯性矩，简称主惯性矩。对于通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。
当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。