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应力与应力状态分析
拉伸模量
拉伸模量是指材料在拉伸时的弹性，其计算公式如下： 拉伸模量（㎏/c㎡)=△f/△h(㎏/c㎡)
其中，△f表示单位面积两点之间的力变化，△h表示以上两点之间的应变化。更具体地说，△h＝（L-L0）/L0，其中L0表示拉伸长前的长度，L表示拉伸长后的长度。
§4-1 几组基本术语与概念
一、变形固体的基本假设
1、均匀连续性假设：假设在变形固体的整个体积内均匀地、毫无空隙地充满着物质，并且各点处的力学性质完全相同。
根据这一假设，可从变形固体内任意一点取出微小单元体进行研究，且各点处的力学性质完全相同，因而固体内部各质点的位移、各点处的内力都将是连续分布的，可以表示为各点坐标的连续函数。
2、各向同性假设：假设变形固体在所有方向上均具有相同的力学性质。 3、小变形假设：认为构件的变形与构件的原始尺寸相比及其微小。
根据小变形假设，在研究构件上力系的简化、研究构件及其局部的平衡时，均可忽略构件的变形而按构件的原始形状、尺寸进行计算。
二、应力的概念 1、正应力的概念
分布内力的大小（或称分布集度），用单位面积上的内力大小来度量，称为应力。 由于内力是矢量，因而应力也是矢量，其方向就是分布内力的方向。 沿截面法线方向的应力称为正应力，用希腊字母σ表示。 应力的常用单位有牛/米（N/m，1N/m称为1帕，代号
2
2222Pa）
、千米/米（KN/m，
1KN/m称为1千帕，代号K几种单位的换算关系为：
2Pa），此外还有更大的单位兆帕（MPa）、吉帕（GPa）。
1 K
Pa=103Pa 1 MPa=103KPa 1 GPa=103MPa=106KPa=109Pa
2、切应力与全应力的概念
与截面相切的应力分量称为切应力，用希腊字母τ表示。
K点处某截面上的全应力pK等于该点处同一截面上的正应力?K与切应力?K的矢量和。
三、位移、变形及应变的概念 变形：构件的形状和尺寸的改变。
位移：构件轴线上点的位置变化和截面方位的改变。
变形和位移的关系：构件的变形必然会使结构产生位移，但结构的位移不一定是由构件的变形引起的，温度变化、支座移动等也会使结构产生位移。
单元体：围绕构件内某一点截取出来的边长为无限小的正六面体。 应变：描述单元体变形程度的几何量，包括线应变和角应变两类。 线应变（正应变）ε：单元体线性尺寸的相对改变量。ε=Δu / u 角应变（切应变）γ：单元体上直角的改变量。γ= 90°- θ
应力与应变的对应关系：正应力σ与正应变ε相互对应；切应力τ与切应变γ相互对应。 四、受力构件内一点处的应力状态的概念
构件内某点处的应力状态，是指通过该点的各个不同方位截面上的应力情况的总体。 研究应力状态，对全面了解受力杆件的应力全貌，以及分析杆件的强度和破坏机理，都是必需的。
为了研究一点处的应力状态，通常是围绕该点取一边长为无限小的正六面体，即单元体。 主平面：单元体上没有切应力的面称为主平面。 主应力：主平面上的正应力称为主应力。
可以证明，通过一点处的所有方向面中，一定存在三个互相垂直的主平面（即一定存在主单元体），因而每一点都对应着三个主应力。
一点处的三个主应力分别用σ1 , σ2 和σ3来表示，并按应力代数值的大小顺序排列，即σ1≥σ2≥σ3。
原始单元体：从一点处取出的各面上应力都已知的单元体，称为该点的原始单元体。对于杆件，通常用一对横截面和两对互相垂直的纵截面截取原始单元体。
主单元体：各面上没有切应力的单元体称为主单元体。 应力状态的分类：
空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零 平面（二向）应力状态：一个主应力为零 单向应力状态：两个主应力为零
一种特殊的二向应力状态——纯剪应力状态：单元体的四个面上有切应力，各面上均无正应力。
简单应力状态与复杂应力状态：单向应力状态和纯剪应力状态合称为简单应力状态，除了二向纯剪应力状态之外的其他二向应力状态和三向应力状态统称为复杂应力状态。
五、切应力互等定理
切应力互等定理：单元体的两个相互垂直的平面上，垂直于公共棱边的切应力同时存在，都指向或都背离公共棱边，并且大小相等。
六、应力与应变之间的关系
试验表明，当只要杆件处于线弹性阶段（应力不超过一定限度），杆件内某点的主应力与主应变之间以及切应力与剪应变之间存在一定的关系，这种关系统称为胡克定律。
虎克定理的表现形式有以下几种：单向应力状态下的胡克定律；轴向拉压杆胡克定律的另一种表达形式；剪切胡克定律；广义胡克定律。
注意：所有胡克定律的适用条件均为：材料处于线弹性阶段。
单向应力状态下的胡克定律和剪切虎克定律均可看作是广义虎克定律的一种特例。 1、单向应力状态下的胡克定律
单向应力状态下，在材料的线弹性范围内，单元体沿正应力σ方向的线应变ε与正应力σ之间存在如下的正比关系：
σx= E εx
式中比例常数 E 称为材料的弹性模量，其常用单位为 GPa 。
弹性模量E只与材料的种类有关，它属于材料的弹性常数。 单向应力状态下横向应变与纵向应变之间的关系：
??????
泊松比μ也属于材料的弹性常数，它也只与材料的种类有关。 2、轴向拉压杆胡克定律的另一种表达形式
?l?FNlEA
这是轴向拉压杆胡克定律的另一种表达形式。它表明：对于轴向拉压杆，当等直杆段内轴力为常数时，只要杆件处于弹性状态（正应力不超过一定限度），则其伸缩变形量与轴力成正比，与杆段原长成正比，与杆件横截面积成反比，比例系数即材料的弹性模量。
3、剪切胡克定律
在材料的线弹性范围内，单元体的切应力τ引起的角应变γ与切应力τ之间存在如下的正比关系：
τ =G γ
式中比例常数G称为材料的剪切弹性模量（又称为切变模量），其常用单位为 GPa 。
剪切弹性模量G只与材料的种类有关，它属于材料的弹性常数。 4、广义虎克定律
三向应力状态下主单元体沿三个主应力?1、?2、?3方向的线应变分别用?1、?2、?3表示，这种沿主应力方向的线应变称为主应变(principal strain)。
对于各向同性材料，在应力不超过其比例极限时，可以用叠加法来求其主应变。
1??1????2??3??E?1??2???2????3??1???E??1?3???3????1??2??E
上式表示在三向应力状态下，主应变和主应力或应变分量与应力分量之间的关系，称为广义
?1?虎克定律，它表明各向同性材料在弹性范围内应力和应变之间的线性本构关系。广义虎克定律只有在应力不超过材料的比例极限时才能使用。
使用上式时，其中的?1、?2、?3应以代数值代入，求的?1、?2、?3中，正值表示伸长，负值表示缩短，三个主应变仍按代数值大小顺序排列，即?1??2??3。单向和二向应力状态可以认为是三向应力状态的特例，上式仍然适用。
当单元体的各面上既有正应力，又有切应力时，即成为三向应力状态的一般情况。可以证明，在小变形条件下，切应力引起的线应变比起正应力引起的线应变是高阶微量，可以忽略，即可认为线应变只与正应力有关，而与切应力无关。此时，若将上式中应力和应变的脚标1、2、3相应的改为x、y、z，等式仍然成立，即： 1?x???y??zE1?y??y????z??x?E1?z??z???x??yE?应注意按上式求出的应变?x、y、?z不一定是主应变。
?x????????????????
在三向应力状态下，切应力和切应变之间也有一定关系，即
τxy = Gγxy τyz = Gγyz τzx = Gγzx
广义胡克定律应用非常广泛，例如弹性力学分析物体的应力和应变时，需用它作为物理方程；在实验应力分析中，根据某点处测出的应变，可以计算主应力或正应力、切应力。
5、弹性常数E、G、 μ之间的关系
对各向同性材料可以证明，弹性常数E、G、μ存在如下关系