发布时间 : 星期三 文章高一数学一元二次不等式解法练习题及与含参不等式恒成立的例子更新完毕开始阅读
?x2?4x?5对于?x?[?1,5]恒成立,令?x?[?1,5],kx?3k??x?4x?5恒成立?k?x?316?x2?4x?5y?,x?[?1,5],设x?3?t,t?[2,8],则y??(t?)?10,t?[2,8],?当t?4,即x=1
tx?32时ymax?2, ?k的取值范围是k>2.
变式 若本题中将y?kx?3k改为y?k(x?3)2，其余条件不变，则也可以用变量分离法解.
由题意得，对于?x?[?1,5],k(x?3)??x?4x?5恒成立?k??x2?4x?5(x?3)222?x2?4x?5(x?3)2对于
?x?[?1,5]恒成立,令y?,x?[?1,5],设x?3?t,t?[2,8],则
y??16104529??1??(?)?,t?[2,8]， 2tt416t45199?当?,即x?时,ymax?, ?k的取值范围是k>.
t451616 点评 本题通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题构造的函数求最值对学生来说有些难度，但通过换元后巧妙地转化为“对勾函数”，从而求得最值. 变式题中构造的函数通过换元后转化为“二次函数型”，从而求得最值.本题也可以用零点分布策略和函数最值策略求解.
5 数形结合策略
例5 设函数f(x)??a??x2?4x,g(x)?ax?a,若恒有f(x)?g(x)成立,试求实数a的取值范围.
解
析
由
题
意
得
f(x)?g(x)??x2?4x?ax?2a,令
,y2?ax?2a②. y1??x2?4x①
2?4(0?x?4,y1?0)，它表示以(2,0)为圆心，2 为半径的上半圆；①可化为(x?2)2?y1②表示经过定点(-2,0)，以a为斜率的直线，要使f(x)?g(x)恒成立，只需①所表示的半圆在②所表示的直线下方就可以了(如图所示)．当直线与半圆相切时就有
|2a?2a|1?a2?2，
y 3，由图可知，要使f(x)?g(x)恒成立，实数a33的取值范围是a?．
3即a??O x 点评 本题通过对已知不等式变形处理后，挖掘不等式两边式子的几何意义，通过构造函数，运用数形结合的
思想来求参数的取值范围，不仅能使问题变得直观，同时也起到了化繁为简的效果.
6 消元转化策略 例
6 已知
f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(m)?f(n)?0，若
m?nf(1)=1,若
m,n?[?1,1],m?n?0时f(x)?t2?2at?1对于所有的
x?[?1,1],a?[?1,1]恒成立，求实数t的取值范围.
解析 本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,故 f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=1,则f(x)?t2?2at?1对于所有的x?[?1,1],a?[?1,1]恒成立?1?t2?2at?1对于所有的
a?[?1,1]恒成立，即2ta?t2?0对于所有的a?[?1,1]恒成立，令g(a)?2ta?t2，只要
?g(?1)?0，?t??2或t?2或t?0． ?g(1)?0? 点评 对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决.
以上介绍的几种常见不等式恒成立问题的求解策略，只是分别从某个侧面入手去探讨不等式中参数的取值范围。事实上，这些策略不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决。