发布时间 : 星期三 文章高一数学一元二次不等式解法练习题及与含参不等式恒成立的例子更新完毕开始阅读
含参不等式恒成立问题的求解策略
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0,x?R),有
1）f(x)?0对x?R恒成立??2?a?0;
???0?a?0.
???022）f(x)?0对x?R恒成立??2例1．已知函数y?lg[x?(a?1)x?a]的定义域为R，求实数a的取值范围。
22解：由题设可将问题转化为不等式x?(a?1)x?a?0对x?R恒成立，即有
1??(a?1)2?4a2?0解得a??1或a?。
3所以实数a的取值范围为(??,?1)?(,??)。
若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。
13例2．设f(x)?x2?2mx?2，当x?[?1,??)时，f(x)?m恒成立，求实数m的取
值范围。
解：设F(x)?x2?2mx?2?m，则当x?[?1,??)时，F(x)?0恒成立 当??4(m?1)(m?2)?0即?2?m?1时，F(x)?0显然成立； 当??0时，如图，F(x)?0恒成立的充要条件为：
yx ????0??F(?1)?0解得?3?m??2。 ??2m????12?综上可得实数m的取值范围为[?3,1)。
-1 O x 二、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）f(x)?a恒成立?a?f(x)min 2）f(x)?a恒成立?a?f(x)max
232例3．已知f(x)?7x?28x?a,g(x)?2x?4x?40x，当x?[?3,3]时，
f(x)?g(x)恒成立，求实数a的取值范围。
解：设F(x)?f(x)?g(x)??2x?3x?12x?c， 则由题可知F(x)?0对任意x?[?3,3]恒成立
'2令F(x)??6x?6x?12?0，得x??1或x?2
32而F(?1)??7a,F(2)?20?a,F(?3)?45?a,F(3)?9?a, ∴F(x)max?45?a?0
∴a?45即实数a的取值范围为[45,??)。
x2?2x?a,x?[1,??)，若对任意x?[1,??)，f(x)?0恒成立，例4．函数f(x)?x求实数a的取值范围。
解：若对任意x?[1,??)，f(x)?0恒成立，
x2?2x?a?0恒成立， 即对x?[1,??)，f(x)?x考虑到不等式的分母x?[1,??)，只需x?2x?a?0在x?[1,??)时恒成立而得 而抛物线g(x)?x2?2x?a在x?[1,??)的最小值gmin(x)?g(1)?3?a?0得
2a??3
注：本题还可将f(x)变形为f(x)?x?a?2，讨论其单调性从而求出f(x)最小值。 x三、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：
1）f(x)?g(a)(a为参数）恒成立?g(a)?f(x)max 2）f(x)?g(a)(a为参数）恒成立?g(a)?f(x)max 实际上，上题就可利用此法解决。
略解：x?2x?a?0在x?[1,??)时恒成立，只要a??x?2x在x?[1,??)时恒成立。而易求得二次函数h(x)??x?2x在[1,??)上的最大值为?3，所以
222a??3。
例5．已知函数f(x)?ax?4x?x2,x?(0,4]时f(x)?0恒成立，求实数a的取值范围。
解： 将问题转化为a?4x?x2对x?(0,4]恒成立。 x令g(x)?4x?x2，则a?g(x)min x由g(x)?4x?x2?x4?1可知g(x)在(0,4]上为减函数，故xg(x)min?g(4)?0
∴a?0即a的取值范围为(??,0)。
注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。 四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例6．对任意a?[?1,1]，不等式x2?(a?4)x?4?2a?0恒成立，求x的取值范围。
分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式(x?2)a?x2?4x?4?0在a?[?1,1]上恒成立的问题。
2解：令f(a)?(x?2)a?x?4x?4，则原问题转化为f(a)?0恒成立
（a?[?1,1]）。
当x?2时，可得f(a)?0，不合题意。
?f(1)?0当x?2时，应有?解之得x?1或x?3。
f(?1)?0?故x的取值范围为(??,1)?(3,??)。
注：一般地，一次函数f(x)?kx?b(k?0)在[?,?]上恒有f(x)?0的充要
?f(?)?0条件为?。
f(?)?0?四、数形结合法
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：
1）f(x)?g(x)?函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方； 2）f(x)?g(x)?函数f(x)图象恒在函数g(x)图象下上方。
例7．设f(x)?实数a的取值范围.
分析：在同一直角坐标系中作出f(x)及g(x) 的图象 22如图所示，f(x)的图象是半圆(x?2)?y?4(y?0) ?x2?4x , g(x)?4x?1?a,若恒有f(x)?g(x)成立,求3y -2 x -4 -4 O