发布时间 : 星期三 文章高一数学一元二次不等式解法练习题及与含参不等式恒成立的例子更新完毕开始阅读
?f(?)?0 f(x)?0在x?[?,?]上恒成立???f(?)?0（2）当a?0时，f(x)?0在x?[?,?]上恒成立???f(?)?0
?f(?)?0b?b??b?????????????? f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??2a或?或2a?2a???f(?)?0????0?f(?)?0类型3：
f(x)??对一切x?I恒成立?f(x)min??f(x)??对一切x?I恒成立?f(x)max??。
类型4：
f(x)?g(x)对一切x?I恒成立?f(x)的图象在g(x)的图象的上方或f(x)min?g(x)max(x?I) 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正
确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。 一、用一次函数的性质
对于一次函数f(x)?kx?b,x?[m,n]有：
?f(m)?0?f(m)?0 f(x)?0恒成立??,f(x)?0恒成立??f(n)?0f(n)?0??例1：若不等式2x?1?m(x?1)对满足?2?m?2的所有m都成立，求x的范围。 解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：
2；令f(m)?m(x?1)?(2x?1)，则?2?m?2时，m(x2?1)?(2x?1)?0，
2?f(?2)?0???2(x?1)?(2x?1)?0f(m)?0恒成立，所以只需?即?，所以x的范2??f(2)?0?2(x?1)?(2x?1)?02围是x?(?1?71?3,)。 222二、利用一元二次函数的判别式
对于一元二次函数f(x)?ax?bx?c?0(a?0,x?R)有： （1）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0；
（2）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0
例2：若不等式(m?1)x2?(m?1)x?2?0的解集是R，求m的范围。
解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。
（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意； （2）m?1?0时，只需??m?1?0???(m?1)?8(m?1)?02，所以，m?[1,9)。
三、利用函数的最值（或值域）
（1）f(x)?m对任意x都成立?f(x)min?m；
（2）f(x)?m对任意x都成立?m?f(x)max。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例3：在?ABC中，已知f(B)?4sinBsin(成立，求实数m的范围。 解析：由
2?4?B)?cos2B,且|f(B)?m|?2恒2f(B)?4sinBsin2(?4?B)?cos2B?2sinB?1,?0?B??,?sinB?(0,1]，2?m?f(B)?2f(B)?(1,3]，?|f(B)?m|?2恒成立，??2?f(B)?m?2，即??m?f(B)?2恒成立，?m?(1,3]
例4：（1）求使不等式a?sinx?cosx,x?[0,?]恒成立的实数a的范围。 解析：由于函a?sinx?cosx?最大值2，?a?2sin(x???3?),x???[?,]，显然函数有
44442。
如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： （2）求使不等式a?sinx?cosx,x???(0,)恒成立的实数a的范围。
42?解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得y?sinx?cosx的最大值取不到
2，即a取2也满足条件，所以
a?2。
所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。
四：数形结合法
对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。
2x例5：已知a?0,a?1,f(x)?x?a,当x?(?1,1)时,有f(x)?1恒成立，求实
2数a的取值范围。
2x2x解析：由f(x)?x?a?1，得x?1?a，在同一直角坐标系中做出两个函
22数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由
12?111xx?a及(?1)2??a?1得到a分别等于2和0.5，并作出函数y?2及y?()2222的图象，所以，要想使函数x?1?ax在区间x?(?1,1)中恒成立，只须y?2x在22区间x?(?1,1)对应的图象在y?x?1在区间x?(?1,1)对应图象的上面即可。当2a?1时,只有a?2才能保证，而0?a?1时，只有a?1a?[,1)?(1,2]。
21才可以，所以2 由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。
例6：若当P(m,n)为圆x?(y?1)?1上任意一点时，不等式m?n?c?0恒成立，则c的取值范围是（ ） A、?1?2?c?222?1 B、2?1?c?2?1
2?1
C、c??2?1 D、c?解析：由m?n?c?0，可以看作是点P(m,n)在直线x?y?c?0的右侧，而点P(m,n)在圆x?(y?1)?1上，实质相当于是x?(y?1)?1在直线的右侧并与它相离
2222?0?1?c?0?或相切。??|0?1?c|?c?2?1，故选D。
?1?22?1?1 其实在习题中，我们也给出了一种解恒成立问题的方法，即求出不等式的解集后再进行处理。
以上介绍了常用的五种解决恒成立问题。其实，对于恒成立问题，有时关键是能否看得出来题就是关于恒成立问题。下面，给出一些练习题，供同学们练习。 练习题：1、对任意实数x，不等式asinx?bcosx?c?0(a,b,c?R)恒成立的充要条件是_______。[c?
a2?b2]
52x?3x?9xa在(??,1]上有意义，求实数a的取值范围.[,??)。 2、设y?lglg97
|Logax|?1恒成立，则实数a的范围是____。[(0,]?[3,??)] 3、当x?(,3)时，
4、已知不等式：
131311112??......??Loga(a?1)? 对一切大于1的n?1n?2n?n123自然数n恒成立，求实数a的范围。[a?(1,
1?5)] 2