发布时间 : 星期四 文章【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 10-9随机变量的数字特征与正态分布 理 新人教A版更新完毕开始阅读
∴E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.
13．(2012·河北石家庄市模拟)有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．
据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：
所用的时间(天数) 通过公路1的频数 通过公路2的频数 10 20 10 11 40 40 12 20 40 13 20 10 假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发．
(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径．
(2)若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元(其他费用忽略不计)，此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，销售商将少支付给生产商2万元．如果汽车A、
B长期按(1)中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．
(注：毛利润＝销售商支付给生产商的费用－一次性费用) [解析] (1)频率分布表，如下：
所用的时间(天数) 通过公路1的频率 通过公路2的频率 10 0.2 0.1 11 0.4 0.4 12 0.2 0.4 13 0.2 0.1 设A1、A2分别表示汽车A在前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；B1、B2分别表示汽车B在前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙．
P(A1)＝0.2＋0.4＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，
∴汽车A应选择公路1.
P(B1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
∴汽车B应选择公路2.
(2)设X表示汽车A选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则X＝42,40,38,36.
X的分布列如下：
X P 42 0.2 40 0.4 38 0.2 36 0.2 5
E(X)＝42×0.2＋40×0.4＋38×0.2＋36×0.2＝39.2.
∴汽车A选择公路1时的毛利润为39.2－3.2＝36.0(万元)
设Y表示汽车B选择公路2时的毛利润，Y＝42.4，40.4，38.4,36.4. 则分布列如下：
Y P 42.4 0.1 40.4 0.4 38.4 0.4 36.4 0.1 E(Y)＝42.4×0.1＋40.4×0.4＋38.4×0.4＋36.4×0.1＝39.4， ∴汽车B选择公路2时的毛利润为39.4万元， ∵36.0<39.4，
∴汽车B为生产商获得毛利润更大．
14．(2012·陕西理，20)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：
办理业务所 需的时间(分) 频率 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1 从第一个顾客开始办理业务时计时． (1)估计第三个顾客恰好等待4min开始办理业务的概率；
(2)X表示至第2min末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望． [分析] (1)由表中所给出的数值，第三个顾客恰好等待4min开始办理业务应分三种情况，逐一列出后求出其概率．(2)从已知条件知，X的值为0人，1人，2人三种情况，特别当x＝1时要注意再进行分类讨论．
[解析] 设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：
Y P 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1 (1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4min开始办理业务”，则事件A对应三种情形： ①第一个顾客办理业务所需的时间为1min，且第二个顾客办理业务所需的时间为3min；②第一个顾客办理业务所需的时间为3min，且第二个顾客办理业务所需的时间为1min；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2min.
所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2) ＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22. (2)X所有可能的取值为0,1,2.
X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2min，
所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；
6
X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1min且第二个顾客办理业务所需的时间超
过1min，或第一个顾客办理业务所需的时间为2min，
所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y>1)＋P(Y＝2) ＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；
X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1min，
所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01； 所以X的分布列为
X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01 E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51. 15．设两球队A、B进行友谊比赛，在每局比赛中A队获胜的概率都是p(0≤p≤1)． 2
(1)若比赛6局，且p＝，求其中A队至多获胜4局的概率是多少？
3(2)若比赛6局，求A队恰好获胜3局的概率的最大值是多少？
(3)若采用“五局三胜”制，求A队获胜时的比赛局数ξ的分布列和数学期望． [解析] (1)设“比赛6局，A队至多获胜4局”为事件A， 则P(A)＝1－[P6(5)＋P6(6)]
256473?5?2?5?2?6?2?6?＝1－?C6???1－?＋C6???＝1－＝. 729729??3??3??3??473
∴A队至多获胜4局的概率为.
729
(2)设“若比赛6局，A队恰好获胜3局”为事件B，则P(B)＝C6p(1－p). 当p＝0或p＝1时，显然有P(B)＝0.
当0 当且仅当p＝1－p，即p＝时取等号． 25 故A队恰好获胜3局的概率的最大值是. 16 (3)若采用“五局三胜”制，A队获胜时的比赛局数ξ＝3,4,5. 33 3 3 33 3 ??p＋1－p?2?3＝20·?1?6＝5，???2?16 ??2???? P(ξ＝3)＝p3； 33 P(ξ＝4)＝C23p(1－p)＝3p(1－p)； 3232P(ξ＝5)＝C24p(1－p)＝6p(1－p)， 所以ξ的分布列为： ξ 3 4 5 7 P p3 3p(1－p) 36p(1－p) 32E(ξ)＝3p3(10p2－24p＋15)． [点评] 本题第(3)问容易出错，“五局三胜制”不一定比满五局，不是“五局中胜三局”．A队获胜包括：比赛三局，A队全胜；比赛四局，A队前三局中胜两局，第四局胜；比赛五局，前四局中胜两局，第五局胜，共三种情况． 1．设随机变量ξ服从分布P(ξ＝k)＝，(k＝1、2、3、4、5)，E(3ξ－1)＝m，E(ξ) 15＝n，则m－n＝( ) 31A．－ 98C. 3[答案] D 1234511 [解析] E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝，∴E(3ξ－1)＝3E(ξ)－1 15151515153＝10， 12345222222 又E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝15，∴m－n＝－5. 1515151515 2．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ)，P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( ) A．0.477 C．0.954 [答案] C [分析] 若ξ～N(μ，σ)，则μ为其均值，图象关于x＝μ对称，σ为其标准差． [解析] ∵P(ξ>2)＝0.023，∴P(ξ<－2)＝0.023， 故P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ>2)－P(ξ<－2)＝0.954.故选C. [点评] 考查其对称性是考查正态分布的主要方式． 3．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0,1))，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为( ) 1 A. 3C. 2 2 k2 B．7 D．－5 B．0.628 D．0.977 1B. 21D. 6 8 1 12