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应如何组织运输，使得总运输费为最小？ 解：这是一个产大于销的运输问题，建立一个假想销地B4，得到产销平衡如下表： A1 A2 销量/件 B1 6 6 150 B2 4 5 150 B3 6 5 200 B4 0 0 100 产量/件 300 300 600 600 （5）某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地的每件物品的运输单价如下表所示： A1 A2 销量/件
B1 6 6 250 B2 4 5 200 B3 6 5 200 产量/件 200 300 650 500 解：这是一个销大于产的运输问题，建立一个假想销地A3，得到产销平衡如下表： A1 A2 A3 销量/件 B1 6 6 0 250 B2 4 5 0 200 B3 6 5 0 200 产量/件 200 300 150 650 650 （6）某公司在三个地方有三个分厂，生产同一种产品，其产量分别为300箱、400箱、500箱。需要供应四个地方的销售，这四地的产品需求分别为400箱、250箱、350箱、200箱。三个分厂到四个销地的单位运价如下表所示： 1分厂 2分厂 3分厂 甲 21 10 23 乙 17 15 21 丙 23 30 20 丁 25 19 22 ① 应如何安排运输方案,使得总运费为最小? ② 如果2分厂的产量从400箱提高到了600箱,那么应如何安排运输方案,使得总运费为最小?
③ 如果销地甲的需求从400箱提高到550箱,而其他情况都同①,那该如何安排运输方案,使得运费为最小?
解:①此运输问题的线性规划的模型如下
minf=21X11+17X12+23X13+25X14+10X21+15X22+30X23+19 X24+23X31+21X32+20X33+22X34
约束条件 ： X11+X12+X13 +X14=300
X21+X22+X23+X24=400 X31+X32+X33+X34=500 X11+X21+X31=400 X12+X22+X32=250 X13+X23+X33=350 X14+X24+X34=200
Xij≥0(i=1,2,3;j=1,2,3,4)
②解：这是一个产大于销的运输问题，建立一个假想销地戊，得到产销平衡如下表：
1分厂 2分厂 3分厂 甲 21 10 23 乙 17 15 21 丙 23 30 20 丁 25 19 22 戊 0 0 0 产量/箱 300 （400）600 500 1400 1400 销量/箱 400 250 350 200 200 ③解：这是一个销大于产的运输问题，建立一个假想销地4分厂，得到产销平衡如下表： 1分厂 2分厂 3分厂 4分厂 甲 21 10 23 0 乙 17 15 21 0 丙 23 30 20 0 丁 25 19 22 0 产量/箱 300 400 500 150 1350 1350 销量/箱 550 250 350 200
（7）整数规划的图解法
某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，这两种货物每件的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如下表所示： 货物 甲 乙 托运限制 每件体积/立方英尺 195 273 1365 每件重量/百千克 4 40 140 每件利润/百元 2 3 甲种货物至多托运4件，问两种货物各托运多少件，可使获得利润最大？
解：设X1,X2分别为甲、乙两种货物托运的件数，其数学模型如下所示：
max z=2X1+3X2
约束条件： 195X1+273X2 ≤1365，
4X1+40X2 ≤140， X1 ≤4， X1, X2≥0，
X1, X2 为整数。
（8）指派问题 有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表所示：问应如何指派工作，才能使总的消耗时间为最少？ A B C D 甲 15 18 21 24 乙 19 23 22 18 丙 丁 26 19 17 21 16 23 19 17 解：引入0—1变量Xij ，并令
1，当指派第i人去完成第j项工作时； Xij = 0，当不指派第i人去完成第j项工作时；
此整数规划的数学模型为：
min z=15X11+18X12+21X13+24X14+19X21+23X22+22X23+
18 X24+26X31+17X32+16X33+19X34 +19X41+21X42+23X43+17X44
约束条件： X11+X12+X13 +X14=1（甲只能干一项工作）
X21+X22+X23+X24=1（乙只能干一项工作） X31+X32+X33+X34=1（丙只能干一项工作） X41+X42+X43+X44=1（丁只能干一项工作） X11+X21+X31+X41=1（A工作只能一个人干） X12+X22+X32+X42=1（B工作只能一个人干） X13+X23+X33+X43=1（C工作只能一个人干） X14+X24+X34+X44=1（D工作只能一个人干） Xij为0—1变量，(i=1,2,3，4;j=1,2,3,4)
(9)有优先权的目标规划的图解法
一位投资商有一笔资金准备购买股票，资金总额为90000元，目前可选的股票有A、B两种（可以同时投资于两种股票），其价格以及年收益率和风险系数 如下表所示： 股票 价格/元 年收益/（元/风险系数 年） A 20 3 0.5 B 50 4 0.2 从表可知： 股票A的收益率为（3/20）×100%=15%,股票B的收益率为（4/50）×100%=8%, A的收益率比B大，但同时A的风险也比B大，这符合高风险高收益的规律。
试求一种投资方案，使得一年的总投资风险不高于700，且投资收益不低于10000元。 解：设X1、X2 分别表示投资商所购买的股票A和股票B的数量。 1.针对优先权最高的目标建立线性规划 X1 建立线性规划模型如下：
4000 3000 2000 1000 0 X2 1000 2000 3000 4000 5000
min d1+
约束条件：20X1+50X2 ≦90000
0.5X1+0.2X2-d1++d1- =700 3X1+4X2-d2++d2- =10000 X1 , X2 , d1+ , d2- ≧0
20X1+50X2 ≦90000
2.针对优先权次高的目标建立线性规划 建立线性规划模型如下： min d
- 2
X1 4000 30002000 1000 0 0.5X1+0.2X2 =700 约束条件： 20X1+50X2 ≦90000
0.5X1+0.2X2-d1++d1- =700 3X1+4X2-d2++d2- =10000 d1+=0
X1 ， X2 ，d1+ ，d1- ，d2+，d2- ≧0
20X1+50X2 ≦90000 1000 2000 3000 4000 5000 3.目标规划模型的标准化
对于两个不同优先权的目标单独建立线性规划进行求解，为方便，把他们用一个模型来表达：
min P1(d1+)+P2(d2-)
约束条件： 20X1+50X2 ≦90000 ，
0.5X1+0.2X2-d1++d1- =700，
3X1+4X2-d2++d2- =10000，
X1 ， X2 ，d1+ ，d1- ，d2+，d2- ≧0。
（10）某工厂试对产品A、B进行生产，市场需求并不是很稳定，因此对每种产品分别预测了在销售良好和销售较差时的预期利润，这两种产品都经过甲、乙两台设备加工，已知产品A和B分别在甲和乙设备上的单位加工时间，甲、乙设备的可用加工时间以及预期利润如表所示，要求首先是保证在销售较差时，预期利润不少于5千元，其次是要求销售良好时，预期销售利润尽量达到1万元。试建立目标规划模型。 甲 乙 销售良好时的预期利润（元/件） 销售较差时的预期利润（元/件） A 4 2 8 5 B 3 5 6 5 可用时间 45 30 100 50 解：设工厂生产 A 产品 X1 件，生产 B 产品X2件。按照生产要求，建立如下目标规划模型:
min P1(d1+)+P2(d2-)
约束条件：
4X1+3X2 ≦45 ， 2X1+5X2 ≦30
5X1+5X2-d1++d1- =50，
8X1+6X2-d2++d2- =100， X1 ， X2 ，di+ ，di- ≧0.i=1,2
(11)动态规划