2018-2019学年高二上学期期末考试数学理试题

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(2)求出与夹角的余弦值,即可得出结果.

【详解】

以为坐标原点,

(1)

分别为,

轴建立直角坐标系,根据题意及,

,可得:

(2),故异面

直线与所成的角为.

【点睛】本题主要考查空间向量在立体几何中的应用,建立适当的坐标系,求线段长即是求向量的模;求直线是方向向量夹角即可求出异面直线所成的角,属于基础题型. 20.已知椭圆C:

与椭圆相交于A,B两点,连接求椭圆C的标准方程; 若直线AB的斜率为1,且【答案】(1)【解析】 【分析】

(1)由焦距为2,求出;再由(2)先由题意得到直线出结果.

的方程为:

的周长为

,求出,进而即可求出结果;

坐标,即可得

;(2)

,求的值. 或3. ,

的左右焦点分别为,,焦距为2,过,且

的周长为

点作直线

,联立直线与椭圆方程,求出

【详解】(1)由题意得圆的标准方程为

,又因为,故可得,,从而椭

(2)由题意可得直线的方程为:,联立,可得,从而,

,或者当当

坐标分别为坐标分别为

或3.

,,

,由题意

时,时,

, ,,

,故,故

; ,

综上,

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程,以及直线与椭圆交点的坐标问题,只需联立直线与椭圆方程求解即可,属于常考题型. 21.已知四边形

,交

(1)求证:(2)若平面

为直角梯形,于点,沿平面平面

将四边形;

,求二面角

的大小.

,.

,过

的中点作

折起,连接

【答案】(1)详见解析;(2)【解析】 【分析】

.

(1)由面面平行的判定定理,先证明平面(2)以点为原点,

平面,进而可得平面; 与平面

为坐标轴,建立空间直角坐标系,分别求出平面

的法向量,求出两向量的夹角,即可得出结果. 【详解】(1)在未折叠之前有:是

,则四边形

的中点,则是正方形,

,又

,且

,折叠之后,

取中点,连接,则,∵,,∵

,∵,平面

,又

,且,,

,即

即,则四边形,∴四边形,四边形,∴平面

是为平面

是平行四边形,∴平行四边形,平行四边形,

,∵

平面

,∴

,∴

(2)因为平面平面,所以易得两两垂直,因此以点为原点,

为坐标轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

则面

,的法向量为

,,,平面

,令,令,

,的法向量为

,得,得

,由 , ,

,,设平

因为二面角是钝二面角,所以其大小为.

【点睛】本题主要考查线面垂直的判定,以及空间向量的方法求二面角的大小,通常需要求出两平面的法向量,求出两向量夹角的余弦值即可,属于常考题型.

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