发布时间 : 星期六 文章六年级奥数-第四讲[1].几何-平面部分 教师版更新完毕开始阅读
小学六年级奥数
22S?ABC?S?ABC.
1?2?472同理可知?ACG和?ABH的面积也都等于?ABC面积的,所以阴影三角形的面积等于?ABC面积的
7211??3?,所以?ABC的面积是阴影三角形面积的7倍. 77所以,S?ACI:S?BCI:S?ABI?1:2:4,那么,S?BCI?
【巩固】如图在△ABC中,
△GHI的面积DCEAFB1的值. ???,求
△ABC的面积DBECFA2AEHFIBGDCBFIGDCHAE【解析】 连接BG,设S△BGC?1份,根据燕尾定理S△AGC:S△BGC?AF:FB?2:1,S△ABG:S△AGC?BD:DC?2:1,得
S2S△AGC?2(份),S△ABG?4(份),则S△ABC?7(份),因此△AGC?,同理连接AI、CH得
S△ABC7S△ABH2S△BIC2S7?2?2?21?,?,所以△GHI?? S△ABC7S△ABC7S△ABC77
【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的,那么在同样的位置上的图形,虽然形状千变万化,但面积是相等的,这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的,即再重复一次解题思路,因此我们有对称法作辅助线.
【例 28】 如图,三角形ABC的面积是1,BD?DE?EC,CF?FG?GA,三角形ABC被分成9部分,请写出
这9部分的面积各是多少?
AAGGPQFBBFNDECM
【解析】 设BG与AD交于点P,BG与AE交于点Q,BF与AD交于点M,BF与AE交于点N.连接CP,CQ,
CM,CN.
根据燕尾定理,S△ABP:S△CBP?AG:GC?1:2,S△ABP:S△ACP?BD:CD?1:2,设S△ABP?1(份),则
1S△ABC?1?2?2?5(份),所以S△ABP?
5211213121同理可得,S△ABQ?,S△ABN?,而S△ABG?,所以S△APQ???,S△AQG???.
72375353721311239同理,S△BPM?,S△BDM?,所以S四边形PQMN????3521273570139511511115,S四边形NFCE???S四边形MNED?????,S四边形GFNQ????
3357042321426321642
【巩固】如图,?ABC的面积为1,点D、E是BC边的三等分点,点F、G是AC边的三等分点,那么四边形
JKIH的面积是多少?
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CFGKAIHB
CDEAGKIHB
JFJDE【解析】 连接CK、CI、CJ.
根据燕尾定理,S?ACK:S?ABK?CD:BD?1:2,S?ABK:S?CBK?AG:CG?1:2,
1111所以S?ACK:S?ABK:S?CBK?1:2:4,那么S?ACK??,S?AGK?S?ACK?.
1?2?473212类似分析可得S?AGI?.
151又S?ABJ:S?CBJ?AF:CF?2:1,S?ABJ:S?ACJ?BD:CD?2:1,可得S?ACJ?.
41117那么,SCGKJ???.
4218417根据对称性,可知四边形CEHJ的面积也为,那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为
84172161619,所以四边形JKIH的面积为1?SCGKJ?2?S?AGI?S?ABE??2????.
84153707070
【例 29】 右图,△ABC中,G是AC的中点,D、E、F是BC边上的四等分点,AD与BG交于M,AF与
BG交于N,已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米,则△ABC的面积是多少平方厘米?
AGMFCBDEAGNMB【解析】 连接CM、CN.
NDEFC
1根据燕尾定理,S△ABM:S△CBM?AG:GC?1:1,S△ABM:S△ACM?BD:CD?1:3,所以S△ABM?S△ABC;
5再根据燕尾定理,S△ABN:S△CBN?AG:GC?1:1,所以S△ABN:S△FBN?S△CBN:S△FBN?4:3,所以AN:NF?4:3,那么
S△ANG151542?2?S△ABC. ???,所以SFCGN??1??S△AFC??S△ABC?77428S△AFC24?37??15根据题意,有S△ABC?S△ABC?7.2,可得S△ABC?336(平方厘米)
528
【例 30】 如图,面积为l的三角形ABC中,D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴影部分面
积.
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ADEIHEQDPAIMHNBFGCBFGC
【解析】 三角形在开会,那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧!
令BI与CD的交点为M,AF与CD的交点为N,BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP
⑴求S四边形ADMI:在△ABC中,根据燕尾定理,S△ABM:S△CBM?AI:CI?1:2S△ACM:S△CBM?AD:BD?1:2
设S△ABM?1(份),则S△CBM?2(份),S△ACM?1(份),S△ABC?4(份),
1111所以S△ABM?S△ACM?S△ABC,所以S△ADM?S△ABM?S△ABC,S△AIM?S△ABC,
431212111所以S四边形ADMI?(?)S△ABC?S△ABC,
121261同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ABC面积的
6⑵求S五边形DNPQE:在△ABC中,根据燕尾定理
S△ABN:S△ACN?BF:CF?1:2S△ACN:S△BCN?AD:BD?1:2,
11111所以S△ADN?S△ABN??S△ABC?S△ABC,同理S△BEQ?S△ABC
3372121在△ABC中,根据燕尾定理S△ABP:S△ACP?BF:CF?1:2,S△ABP:S△CBP?AI:CI?1:2 1?111?11S△ABC 所以S△ABP?S△ABC,所以S五边形DNPQE?S△ABP?S△ADN?S△BEP?????S△ABC?521211055??1111113同理另外两个五边形面积是△ABC面积的,所以S阴影?1??3? ?3?610570105
【例 31】 如图,面积为l的三角形ABC中,D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求中心六边形
面积.
ADEIHADEQCNRIPHBFGBMFSGC
【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q,连接CR
在△ABC中根据燕尾定理,S△ABR:S△ACR?BG:CG.?2:1,
S△ABR:S△CBR?AI:CI?1:2
222所以S△ABR?S△ABC,同理S△ACS?S△ABC,S△CQB?S△ABC
77722211所以S△RQS?1????,同理S△MNP?
7777711131根据容斥原理,和上题结果S六边形????
777010
课后练习:
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练习1. 已知△DEF的面积为7平方厘米,BE?CE,AD?2BD,CF?3AF,求△ABC的面积.
AFDBEC
【解析】 S△BDE:S△ABC?(BD?BE):(BA?BC)?(1?1):(2?3)?1:6,
S△CEF:S△ABC?(CE?CF):(CB?CA)?(1?3):(2?4)?3:8S△ADF:S△ABC?(AD?AF):(AB?AC)?(2?1):(3?4)?1:6
设S△ABC?24份,则S△BDE?4份,S△ADF?4份,S△CEF?9份,S△DEF?24?4?4?9?7份,恰好是7平方厘米,所以S△ABC?24平方厘米
练习2. 如图,四边形EFGH的面积是66平方米,EA?AB,CB?BF,DC?CG,HD?DA,求四边形ABCD的面积.
HDAE【解析】 连接BD.由共角定理得S△BCD:S△CGFHCBGDCBGFAEF
?(CD?CB):(CG?CF)?1:2,即S△CGF?2S△CDB
同理S△ABD:S△AHE?1:2,即S△AHE?2S△ABD 所以S△AHE?S△CGF?2(S△CBD?S△ADB)?2S四边形ABCD 连接AC,同理可以得到S△DHG?S△BEF?2S四边形ABCD
S四边形EFGH?S△AHE?S△CGF?S△HDG?S△BEF?S四边形ABCD?5S四边形ABCD
所以S四边形ABCD?66?5?13.2平方米
练习3. 正方形ABCD的面积是120平方厘米,E是AB的中点,F是BC的中点,四边形BGHF的面积是
平方厘米.
ADEGHFADBCEGHF M【解析】 欲求四边形BGHF的面积须求出?EBG和?CHF的面积.
BC
1由题意可得到:EG:GC?EB:CD?1:2,所以可得:S?EBG?S?BCE
3将AB、DF延长交于M点,可得: BM:DC?MF:FD?BF:FC?1:1,
12而EH:HC?EM:CD?(AB?AB):CD?3:2,得CH?CE,
251121而CF?BC,所以S?CHF??S?BCE?S?BCE
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