六年级奥数-第四讲[1].几何-平面部分 教师版

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小学六年级奥数

ADFBEGC【解析】 设S△ADE?1份,根据面积比等于相似比的平方,

因此S△AFG?4份,S△ABC?9份,

所以S△ADE:S△AFG?AD2:AF2?1:4,S△ADE:S△ABC?AD2:AB2?1:9,

进而有S四边形DEGF?3份,S四边形FGCB?5份,所以S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB?1:3:5

【巩固】如图,DE平行BC,且AD?2,AB?5,AE?4,求AC的长.

ADBE

【解析】 由金字塔模型得AD:AB?AE:AC?DE:BC?2:5,所以AC?4?2?5?10

【巩固】如图, △ABC中,DE,FG,MN,PQ,BC互相平行,

AD?DF?FM?MP?PB,则

CADEGS△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB?. 【解析】 设

FMS△ADE?1份,S△ADE:S△AFG?AD2:AF2?1:4,因此

S△AFG?4份,进而有S四边形DEGF?3份,同理有

BNQCS四边形FGNM?5份,S四边形MNQP?7份,S四边形PQCB?9份.

所以有

PS△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB?1:3:5:7:9

【例 23】 如图,已知正方形ABCD的边长为4,F是BC边的中点,E是DC边上的点,且DE:EC?1:3,AF与BE相交于点G,求S△ABG

ABABABGFGFGFD

【解析】 方法一:连接AE,延长AF,DC两条线交于点M,构造出两个沙漏,所以有AB:CM?BF:FC?1:1,

因此CM?4,根据题意有CE?3,再根据另一个沙漏有GB:GE?AB:EM?4:7,所以

ECDECMDEC432??(4?4?2?). ABE1111方法二:连接AE,EF,分别求S△ABF?4?2?2?4,S△AEF?4?4?4?1?2?3?2?2?4?7,根S△ABG?第 13 页 共 24 页 4S△4?7小学六年级奥数

据蝴蝶定理S△ABF:S△AEF?BG:GE?4:7,所以S△ABG?4432S△ABE??(4?4?2)?. 4?71111

【例 24】 如图所示,已知平行四边形ABCD的面积是1,E、F是AB、AD的中点, BF交EC于M,求?BMG的面积.

AFFDIADEBHMGC

EMHG

BC【解析】 解法一:由题意可得,E、F是AB、AD的中点,得EF//BD,而FD:BC?FH:HC?1:2,

EB:CD?BG:GD?1:2所以CH:CF?GH:EF?2:3, 并得G、H是BD的三等分点,所以BG?GH,所以

BG:EF?BM:MF?2:3,所以BM?2BF,S?BFD5111?S?ABD??S222ABCD1?; 41212111又因为BG?BD,所以S?BMG???S?BFD????.

35354303 解法二:延长CE交DA于I,如右图,

可得,AI:BC?AE:EB?1:1,从而可以确定M的点的位置,

21 BM:MF?BC:IF?2:3,BM?BF,BG?BD(鸟头定理),

53 可得S?BMG?21211?S?BDF???S53534ABCD?1 30

【例 25】 如图,ABCD为正方形,AM?NB?DE?FC?1cm且MN?2cm,请问四边形PQRS的面积为多少?

DERSPAMNBQFCDERSPFCQMNB

MQMBMPPC?【解析】 (法1)由AB//CD,有,所以PC?2PM,又,所以 ?QCECMNDC

A11111MQ?QC?MC,所以PQ?MC?MC?MC,所以SSPQR占SAMCF的,

2236612所以SSPQR??1?(1?1?2)?(cm2).

631(法2)如图,连结AE,则S?ABE??4?4?8(cm2),

2RBERRBAB2216而,所以???2,S?ABR?S?ABE??8?(cm2). ABEFEFEF33311MNMP而S?MBQ?S?ANS??3?4??3(cm2),因为, ?22DCPC1114所以MP?MC,则S?MNP??2?4??(cm2),阴影部分面积等于

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S?ABR?S?ANS?S?MBQ?S?MNP?1642?3?3??(cm2). 333

【例 26】 如右图,三角形ABC中,BD:DC?4:9,CE:EA?4:3,求AF:FB.

AFBODEC

【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?4:9?12:27

S△AOB:S△BOC?AE:CE?3:4?12:16

(都有△AOB的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以S△AOC:S△BOC?27:16?AF:FB

【点评】本题关键是把△AOB的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果能

掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!

【巩固】如右图,三角形ABC中,BD:DC?3:4,AE:CE?5:6,求AF:FB.

AFBODEC

【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?3:4?15:20

S△AOB:S△BOC?AE:CE?5:6?15:18

(都有△AOB的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以S△AOC:S△BOC?20:18?10:9?AF:FB

【巩固】如右图,三角形ABC中,BD:DC?2:3,EA:CE?5:4,求AF:FB.

AFBODEC

【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?2:3?10:15

S△AOB:S△BOC?AE:CE?5:4?10:8

(都有△AOB的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以S△AOC:S△BOC?15:8?AF:FB

【点评】本题关键是把△AOB的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果能

掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!

【例 27】 如右图,三角形ABC中,AF:FB?BD:DC?CE:AE?3:2,且三角形ABC的面积是1,则三角形ABE的面积为______,三角形AGE的面积为________,三角形GHI的面积为______.

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AEFHB【分析】 连接AH、BI、CG.

由于CE:AE?3:2,所以AE?AEFIDC

GGHIDC

B222AC,故S?ABE?S?ABC?; 555根据燕尾定理,S?ACG:S?ABG?CD:BD?2:3,S?BCG:S?ABG?CE:EA?3:2,所以

49S?ACG:S?ABG:S?BCG?4:6:9,则S?ACG?,S?BCG?;

19192248那么S?AGE?S?AGC???;

5519959??S同样分析可得S?ACH?,则EG:EH,EG:EB?S?ACG:S?ACB?4:19,所以ACG:?SAC?H4:919EG:GH:H?B4:5:,同样分析可得10AG:GI:ID?10:5:4,

55215511所以S?BIE?S?BAE???,S?GHI?S?BIE???.

1010551919519【巩固】 如右图,三角形ABC中,AF:FB?BD:DC?CE:AE?3:2,且三角形GHI的面积是1,求三角形ABC的面积.

AAFIBHGDEFICBHGDEC

【解析】 连接BG,S△AGC?6份

根据燕尾定理,S△AGC:S△BGC?AF:FB?3:2?6:4,S△ABG:S△AGC?BD:DC?3:2?9:6

S6得S△BGC?4(份),S△ABG?9(份),则S△ABC?19(份),因此△AGC?,

S△ABC19同理连接AI、CH得

S△ABHS6S619?6?6?61?,△BIC?,所以△GHI?? S△ABC19S△ABC19S△ABC1919三角形GHI的面积是1,所以三角形ABC的面积是19

【巩固】如图,?ABC中BD?2DA,CE?2EB,AF?2FC,那么?ABC的面积是阴影三角形面积的 倍.

ADGFHBEIC

ADGFHBEIC

【分析】 如图,连接AI.

根据燕尾定理,S?BCI:S?ACI?BD:AD?2:1,S?BCI:S?ABI?CF:AF?1:2,

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