发布时间 : 星期六 文章六年级奥数-第四讲[1].几何-平面部分 教师版更新完毕开始阅读
小学六年级奥数
第四讲 平面几何部分
典型例题
【例 1】 如图，正方形ABCD的边长为6，AE?1.5，CF?2．长方形EFGH的面积为 ．
_H _D_H _D_A_E
_G
_A
_E
_G
_B
_F
_C
_B
_F
_C
【解析】 连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．
三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
S△DEF?6?6?1.5?6?2?2?6?2?4.5?4?2?16.5,所以长方形EFGH面积为33．
【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？
_ E_ A_ F
_ D
_ G
_ C _ B
_ F
_ A_ E_ B
_ GD_ C _
【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四
边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
证明：连接AG．(我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一起)．
∵在正方形ABCD中，S△ABG?1?AB?AB边上的高， 21S?S∴△ABG2同理，S△ABG?ABCD(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)
1SEFGB． 2∴正方形ABCD与长方形EFGB面积相等． 长方形的宽?8?8?10?6.4(厘米)．
【例 2】 长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积
是多少？
AHDEGBFC
【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：
HDAEGB 可得：S?EHB?111S?AHB、S?FHB?S?CHB、S?DHG?S?DHC，而SABCD?S?AHB?S?CHB?S?CHD?36
222FC
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11S?S?S?(S?S?S)??36?18； 即?EHB?BHF?DHG?AHB?CHB?CHD2211111?BE?BF??(?AB)?(?BC)??36?4.5． 22228 所以阴影部分的面积是：S阴影?18?S?EBF?18?4.5?13.5 解法二：特殊点法．找H的特殊点，把H点与D点重合，
那么图形就可变成右图：
而S?EHB?S?BHF?S?DHG?S阴影?S?EBF，S?EBF?AD(H)EG
这样阴影部分的面积就是?DEF的面积，根据鸟头定理，则有：
BFC1111111S?S?S?S?S?36???36????36???36?13.5． 阴影ABCD?AED?BEF?CFD2222222
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分
别与P点连接,求阴影部分面积．
ADA(P)DADPPCCBB
【解析】 （法1）特殊点法．由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，则阴影部
11分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面
4611积为62?(?)?15平方厘米．
46（法2）连接PA、PC．
由于?PAD与?PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和
11等于正方形ABCD面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的，
4611所以阴影部分的面积为62?(?)?15平方厘米．
46
【例 3】 如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB?8，AD?15，四边形EFGO的面积
为 ．
BADCOEBFGC
【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积．
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1由于长方形ABCD的面积为15?8?120，所以三角形BOC的面积为120??30，所以三角形AOE和
43DOG的面积之和为120??70?20；
4?11?又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120?????30，所以四边形EFGO的面积为
?24?30?20?10．
另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积?三角形AFC面积?三角形BFD面积?白色部分的面积，而三角形AFC面积?三角形BFD面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120?70?50，所以四边形的面积为60?50?10．
【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，AE?2ED，则阴影部分的面积为 ．
AOB【解析】 如图，连接OE．
EDAMOBENDC
C
根据蝴蝶定理，ON:ND?S?COE:S?CDE?11S?CAE:S?CDE?1:1，所以S?OEN?S?OED；
2211OM:MA?S?BOE:S?BAE?S?BDE:S?BAE?1:4，所以S?OEM?S?OEA．
52又S?OED?11?S矩形ABCD?3，S?OEA?2S?OED?6，所以阴影部分面积为：3?1?6?1?2.7． 3425
【例 4】 已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，
求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)
A甲乙IJMBNH丙EDF
【解析】 因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平
行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200．
根据图形的容斥关系，有S?ABCC?S丙?S?ABN?S?AMC?SAMHN，
?SAMHN．
即400?S丙? 200?200?SAMHN，所以S丙又S阴影?S?ADF1S?S?S?S?S?143??400?43． ?S甲?S乙?SAMHN，所以阴影乙?ADF甲丙4
【例 5】 如图，已知CD?5，DE?7，EF?15，FG?6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，
右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是 ．
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AACDBEFGCDBEFG【解析】 连接AF，BD．
根据题意可知，CF?5?7?15?27；DG?7?15?6?28；
所以，S?BEF?
15S?CBF，S?BEC?12S?CBF，S?AEG?21S?ADG，S?AED?7S?ADG， 272827287122115S?CBF?38； S?ADG?S?CBF?65；S?ADG?于是：
28272827可得S?ADG?40．故三角形ADG的面积是40．
【例 6】 如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB?2:5，AE:AC?4:7，S△ADE?16平方厘
米，求△ABC的面积．
AADEDEBCB【解析】 连接BE，S△ADE:S△ABE
?AD:AB?2:5?(2?4):(5?4)，
C
S△ABE:S△ABC?AE:AC?4:7?(4?5):(7?5)，所以S△ADE:S△ABC?(2?4):(7?5)，设S△ADE?8份，则S△ABC?35份，S△ADE?16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ABC的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．
【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三
角形ABC的面积是多少？
AADECDECB B
【解析】 连接BE．
∵EC?3AE ∴SABC?3SABE 又∵AB?5AD
∴SADE?SABE?5?SABC?15，∴SABC?15SADE?15．
【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD?DC?4，BE?3，AE?6，乙部分面积
是甲部分面积的几倍？
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