发布时间 : 星期四 文章高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第6讲抛物线练习理北师大版更新完毕开始阅读
第6讲 抛物线
一、选择题
1.(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝( ) 1A. 2
B.1
3 C. 2
D.2
2
kx解析 由题可知抛物线的焦点坐标为(1，0)， 由PF⊥x轴知，|PF|＝2，所以P点的坐标为(1，2). 代入曲线y＝(k>0)得k＝2，故选D. 答案 D
2.点M(5，3)到抛物线y＝ax(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A.y＝12x C.y＝－36x
22
2
kx
B.y＝12x或y＝－36x 1212
D.y＝x或y＝－x
1236
22
1212
解析 分两类a>0，a<0可得y＝x，y＝－x.
1236答案 D
3.(2017·宜春诊断)过抛物线y＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝( ) A.9
2
2
B.8 C.7 D.6
解析 抛物线y＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B. 答案 B
4.已知抛物线C：y＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交→→
点.若FP＝4FQ，则|QF|等于( ) 7A. 2
→→
解析 ∵FP＝4FQ， |PQ|3→→
∴|FP|＝4|FQ|，∴＝.
|PF|4如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′， 设l与x轴的交点为A，
5B. 2
C.3
D.2
2
|PQ||QQ′|3
则|AF|＝4，∴＝＝，
|PF||AF|4
∴|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3，故选C. 答案 C
5.(2017·衡水金卷)已知抛物线y＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，
2
B(x2，y2)两点，则y21＋y2的最小值为( )
2
A.12 B.24 C.16 D.32
解析 当直线的斜率不存在时，其方程为x＝4，
??x＝4，22由?2得y1＝－4，y2＝4，∴y1＋y2＝32. ??y＝4x，
当直线的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－4)，
??y＝4x，由?得?y＝k（x－4），?
2
22
ky2－4y－16k＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－16，∴y21＋y2＝(y1＋y2)
k4
16
－2y1y2＝2＋32＞32，
k综上可知，y1＋y2≥32. ∴y1＋y2的最小值为32.故选D. 答案 D 二、填空题
6.(2016·兰州诊断)抛物线y＝－12x的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三
93角形的面积等于________.
解析 由图可知弦长|AB|＝23，三角形的高为3， 1
∴面积为S＝×23×3＝33.
2
2
2
2
22
x2y2
答案 33
7.(2017·安徽四校三联)过抛物线y＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，
2
B两点，则弦长|AB|为________.
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2).易得抛物线的焦点是F(1，0)，所以直线AB的方程是y＝
??y＝4x，2
x－1，联立?消去y得x－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6
?y＝x－1，?
2
＋2＝8. 答案 8
8.(2017·江西九校联考)抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y－x＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
2
2
2
??2
解析 y＝2px的准线为x＝－.由于△ABF为等边三角形.因此不妨设A?－2，?，
23??
p2p2?－p，－p?22
B?2?，又点A，B在双曲线y－x＝1上，从而3－4＝1，所以p＝23.
3??
答案 23 三、解答题
9.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y＝2px(p＞0).
(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程； (2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. ①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)； ②求p的取值范围.
(1)解 ∵l：x－y－2＝0，∴l与x轴的交点坐标为(2，0). 即抛物线的焦点为(2，0)，∴＝2，∴p＝4.
2∴抛物线C的方程为y＝8x.
(2)①证明 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2).
??y1＝2px1，则?2则?y2＝2px2，?
2
22
pppp??
?y ??x＝2p，
2
2
2
y21
x1＝，
2p∴kPQ＝
y1－y22p， 22＝
y1y2y1＋y2
－2p2p又∵P，Q关于l对称.∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2p， ∴∴
y1＋y2
22
＝－p，又∵PQ的中点一定在l上， ＝
＋2＝2－p.
x1＋x2y1＋y2
2
∴线段PQ的中点坐标为(2－p，－p). ②解 ∵PQ的中点为(2－p，－p)，
y1＋y2＝－2p，??2∴? y21＋y2
x＝4－2p，1＋x2＝?2p?
???y1＋y2＝－2p，?y1＋y2＝－2p，即?22∴? 22
?y1＋y2＝8p－4p，??y1y2＝4p－4p，?
即关于y的方程y＋2py＋4p－4p＝0，有两个不等实根.∴Δ＞0. 422
即(2p)－4(4p－4p)＞0，解得0＜p＜，
3
22
?4?故所求p的范围为?0，?. ?3?
10.已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y1y2＝－p，x1x2＝；
411(2)＋为定值； |AF||BF|
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0).
2由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y＝2px，
2得y＝2p(my＋)，即y－2pmy－p＝0.(*)
2则y1，y2是方程(*)的两个实数根， 所以y1y2＝－p.
因为y1＝2px1，y2＝2px2，所以y1y2＝4px1x2，
2y2p4p21y2
所以x1x2＝2＝2＝.
4p4p4
2
2
22
2
2
2
22
p2
pp2
p22
1111(2)＋＝＋ |AF||BF|ppx1＋x2＋
22＝
x1＋x2＋p.
pp2
x1x2＋（x1＋x2）＋
2
4
因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，
4得
1|AB|2＋＝22＝(定值). |AF||BF|pppp＋（|AB|－p）＋4241
p2