发布时间 : 星期五 文章初级中学数学竞赛精品标准教程及练习31：勾股定理更新完毕开始阅读
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初中数学竞赛精品标准教程及练习（31）
勾股定理
1.一、内容提要
勾股定理及逆定理：△ABC中 ∠C＝Rt∠?a2＋b2=c2勾股定理及逆定理地应用
2.①作已知线段a地2，3，5……倍
3. 4.计算图形地长度，面积，并用计算方法解几何题证明线段地平方关系等.
勾股数地定义：如果三个正整数a,b,c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数.
勾股数地推算公式
罗士琳法则（罗士琳是我国清代地数学家1789――1853）
任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2，2mn, m2+n2是一组勾股数.
②③b5E2R。 ①②k2?1k2?1
如果k是大于1地奇数，那么k, ,是一组勾股数.
22
22③?K??K?如果k是大于2地偶数，那么k, ???1,???1是一组勾股数.
?2??2?如果a,b,c是勾股数，那么na, nb, nc (n是正整数)也是勾股数.
5. 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形.简单地勾股数有：3，4，5； 5，
12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41.p1Ean。 二、例题
④例1.已知线段a a
5a 2a3a5a
求作线段5a a 分析一：5a＝5a2＝4a2?a22a
∴5a是以2a和a为两条直角边地直角三角形地斜边.
2分析二：5a＝9a?4a2E∴5a是以3a为斜边，以2a为直角边地直角三角形地另一条直角边.作图（略）
D?例2.四边形ABCD中∠DAB＝60，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2求对角线AC地长
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解：延长BC和AD相交于E，则∠E＝30?∴CE＝2CD＝4，
在Rt△ABE中
设AB为x,则AE＝2x
根据勾股定理x2+52=(2x)2, x2=
253在Rt△ABC中，AC＝x2?12＝
252?1＝2133A例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A
求证：AB2－BC2＝AB×BC 证明：作∠B地平分线交AC于D， 则∠A＝∠ABD， D∠BDC＝2∠A＝∠C
∴AD＝BD＝BC M 作BM⊥AC于M，则CM＝DM B CAB2－BC2＝（BM2＋AM2）－（BM2＋CM2） ＝AM2－CM2＝（AM＋CM）（AM－CM） ＝AC×AD＝AB×BC
例4.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD 求证：AB＝AC
证明：设AB，AC，BD，CD分别为b,c,m,n
则c+n=b+m, c-b=m-n
∵AD⊥BC，根据勾股定理，得 A
AD2＝c2-m2=b2-n2
cbn∴c2-b2=m2-n2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)B mD(c+b)(c-b) =(m+n)((c-b)(c+b)(c-b) －(m+n)(c-b)＝0(c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0
∵c+b>m+n, ∴c-b=0 即c=b∴AB＝AC
例5.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC
求证：AC＞BD
证明：作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、F ACDE和BCDF都是平行四边形
∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF
作DH⊥AB于H，根据勾股定理
CAH＝AD-DH，FH＝DF-DH
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∵AD＞BC，AD＞DF ∴AH＞FH，EH＞BH DE＝DH2?EH2，BD＝DH?BH2
∴DE＞BD 即AC＞BD 例6.已知：正方形ABCD地边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a，AF＝b,且SEFGH＝
2DXDiT。 3AED 求：b?a地值
H
解：根据勾股定理 F
a2+b2=EF2＝SEFGH＝
2 ;① 31② 3BGC∵4S△AEF＝SABCD－SEFGH ∴ 2ab=① －②得 （a-b）2=
31∴b?a＝
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三、练习31
1. 以下列数字为一边，写出一组勾股数：
① 7，＿＿，＿＿ ②8，＿＿，＿＿ ③9，＿＿，＿＿ ④10，＿＿，＿＿ ⑤11，＿＿，＿＿ ⑥12，＿＿，＿＿ 2. 根据勾股数地规律直接写出下列各式地值：
① 252－242＝＿＿， ②52＋122＝＿＿，
③82?152＝＿＿＿，④252-152＝＿＿＿
△ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分别是中线和高.那么S△ABC＝＿＿，CH＝＿＿，MH＝＿＿＿RTCrp。 4. 梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S梯形＝＿＿＿ 5.已知：△ABC中，AD是高，BE⊥AB，BE＝CD，CF⊥AC，CF＝BD
求证：AE＝AF
6.已知：M是△ABC内地一点，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB， 且BD＝BF，CD＝CE E
A 求证：AE＝AF F
A(5) EFM BCC BDD
7.在△ABC中，∠C是钝角，a2-b2=bc 求证∠A＝2∠B
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8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数.（用反证法）
9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积地数值相等，求各边长 10等腰直角三角形ABC斜边上一点P，求证：AP2＋BP2＝2CP2
11.已知△ABC中，∠A＝Rt∠，M是BC地中点，E，F分别在AB，AC
ME⊥MF
求证：EF2＝BE2＋CF2
12.Rt△ABC中，∠ABC＝90?，∠C＝600，BC＝2，D是AC地中点，从D作DE⊥AC与CB地延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF地长是＿＿＿＿.5PCzV。 FAA (11)(12)E DF B EMCBC 13.△ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有100个不同地点p1，p2，p3，…p100, 记mi=APi2+BPi×PiC (I=1,2……，100)，则m1+m2+…＋m100=____
练习31参考答案：
3. 150，12，35 4. 24（作CE∥BD交AB延长线E） 5. 利用勾股定理证明AE，AF地平方都等于m2+n2+AD2 6.利用勾股定理: AE2＝……，AF2＝…… DCAb7.作CD⊥AB于D， a2222
∵bc=a-b=BD-AD=(BD+AD)(BD-AD) ∴b=BD-AD …… 8.（用反证法）设a,b,c都是奇数， 那么a2,b2,c2也都是奇数， ∴a2＋b2是偶数,而c2是奇数， 这与a2＋b2＝c2相矛盾， 故这种假设不能成立，
∴a,b,c中至少有一个数是偶数
BE?a?12,8,.6,.51?a?b?c?ab??9. ?2正整数解有?b?.5,.6,.8,.12
?c?13,10,10,13?a2?b2?c2??答：各边长是5，12，13或6，8，10
11.延长EM到N，使MN＝EM，连结CN， 显然△MNC≌△MEB，NC＝BE，NF＝EF…… 12. 可证DF＝DE＝23， 13. 400 (mi=4)
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