发布时间 : 星期一 文章应用多元统计分析课后答案_朱建平版更新完毕开始阅读
答：对于因子模型
Xi?ai1F1?ai2F2???aijFj???aimFm??i i?1,2,?,p
?a11?a21因子载荷阵为A???????ap1a12a22?ap2?a1m??a2m???(A,A,?,A)
12m?????apm??Xi与Fj的协方差为：
Cov(Xi,Fj)?Cov(?aikFk??i,Fj)
k?1m=Cov(?ak?1mikFk,Fj)?Cov(?i,Fj)
=aij
若对
Xi作标准化处理，
Fj2i=aij,因此 aij一方面表示Xi对Fj的依赖程度；另一方面也反映了变量
Xi对公共因子的相对重要性。
2??aijj?1m变量共同度hi?1,2,?,p
22 D(Xi)?ai1D(F1)?ai2D(F2)???aimD(Fm)?D(?i)分组成：第一部分为共同度hi，它描述了全部公共因子对变量对变量
22?hi2??i2 说明变量Xi的方差由两部
Xi的总方差所作的贡献，反映了公共因子
Xi的影响程度。第二部分为特殊因子?i对变量Xi的方差的贡献，通常称为个性方差。
X的贡献g2j2??aiji?1p而公共因子Fj对
j?1,2,?,m
表示同一公共因子Fj对各变量所提供的方差贡献之总和，它是衡量每一个公共因子相对重要性的一个尺度。
7.4 在进行因子分析时，为什么要进行因子旋转？最大方差因子旋转的基本思路是什么？
答：因子分析的目标之一就是要对所提取的抽象因子的实际含义进行合理解释。但有时直接根据特征根、特征向量求得的因子载荷阵难以看出公共因子的含义。这种因子模型反而是不利于突出主要矛盾和矛盾的主要方面的，也很难对因子的实际背景进行合理的解释。这时需要通过因子旋转的方法，使每个变量仅在一个公共因子上有较大的载荷，而在其余的公共因子上的载荷比较小。
最大方差旋转法是一种正交旋转的方法，其基本思路为：
①A
其中令
A?AΓ?(a)**ijp?m,p12dij?a/hi dj??dij
pi?1*ijp12A的第j列元素平方的相对方差可定义为Vj??(dij?dj)2 pi?1*②V?V1?V2???Vm
*
最大方差旋转法就是选择正交矩阵Γ，使得矩阵A所有m个列元素平方的相对方差之和达到最大。 7.5 试分析因子分析模型与线性回归模型的区别与联系。
答：因子分析模型是一种通过显在变量测评潜在变量，通过具体指标测评抽象因子的统计分析方法的模型。而线性回归模型回归分析的目的是设法找出变量间的依存(数量)关系, 用函数关系式表达出来。
因子分析模型中每一个变量都可以表示成公共因子的线性函数与特殊因子之和。即
（i?1Xi?ai1F1?ai2F2???aimFm??i，2,,?p） 该模型可用矩阵表示为：X?AF?ε 而回归分析模型中多元线性回归方程模型为：
是偏回归系数，是残差。
因子模型满足：
（1）m?p； （2）Cov(F,ε)?0，即公共因子与特殊因子是不相关的；
其中
是常数项，
0??1?1???I，即各个公共因子不相关且方差为1； （3）DF?D(F)??m?????1??0??120???2?2??，即各个特殊因子不相关，方差不要求相等。 （4）D??D(ε)??????20???p??而回归分析模型满足（1）正态性：随机误差（即残差）e服从均值为 0，方差为?的正态分布；（2）等方差：对于所有的自变量x，残差e的条件方差为? ，且?为常数；（3）独立性：在给定自变量x的条件下，残差e的条件期望值为0（本假设又称零均值假设）；（4）无自相关性：各随机误差项e互不相关。
两种模型的联系在于都是线性的。因子分析的过程就是一种线性变换。 7.6 设某客观现象可用X=(
)’来描述， 在因子分析时，从约相关阵出发计算出特征值为 由于
特征值所对应的公共因子即可， 又知（0，0.899，0.4470）’，要求：
（1）计算因子载荷矩阵A，并建立因子模型。（2）计算共同度
。
,所以找前两个
对应的正则化特征向量分别为(0.707,-0.316,0.632)’及
２
２
（3）计算第一公因子对X 的“贡献”。
解：（1）根据题意，A=
=
建立因子模型为， （2）
，
，
，
。
（3）因为是从约相关阵计算的特征值，所以公共因子对X的“贡献”为
第八章 相应分析
8.1 什么是相应分析？它与因子分析有何关系？
答：相应分析也叫对应分析，通常意义下，是指两个定性变量的多种水平进行相应性研究。其特点是它所研究的变量可以是定性的。
相应分析与因子分析的关系是： 在进行相应分析过程中，计算出过渡矩阵后，要分别对变量和样本进
行因子分析。因此，因子分析是相应分析的基础。具体而言，
式表明Zuj为相对
于特征值的关于因素A各水平构成的协差阵因子分析的关系。
8.2试述相应分析的基本思想。
的特征向量。从而建立了相应分析中R型因子分析和Q型
答：相应分析，是指对两个定性变量的多种水平进行分析。设有两组因素A和B，其中因素A包含r个水平，因素B包含c个水平。对这两组因素作随机抽样调查，得到一个r?c的二维列联表，记为
K?(kij)r?c。要寻求列联表列因素A和行因素B的基本分析特征和最优列联表示。相应分析即是通过列
联表的转换，使得因素A 和因素B具有对等性，从而用相同的因子轴同时描述两个因素各个水平的情况。把两个因素的各个水平的状况同时反映到具有相同坐标轴的因子平面上，从而得到因素A、B的联系。
8.3 试述相应分析的基本步骤。 答：（1）建立列联表
设受制于某个载体总体的两个因素为
A和B，其中因素A包含r个水平，因素B包含c个水平。对这
两组因素作随机抽样调查，得到一个r?c的二维列联表，记为
K?(kij)r?c。
（2）将原始的列联资料K=(kij) r ?c变换成矩阵Z=(zij) r ?c，使得zij对因素A和列因素B具有对等性。通过
。得Σc变换
?Z?Z，Σr?ZZ?。
（3）对因素B 进行因子分析。
计算出Σc?Z?Z的特征向量
及其相应的特征向量
)
计算出因素B的因子
（4）对因素A 进行因子分析。 计算出Σr?ZZ?的特征向量
及其相应的特征向量
，
计算出因素A的因子
(5)选取因素B 的第一、第二公因子 选取因素A 的第一、第二公因子将B因素的c个水平A因素的r个水平
同时反应到相同坐标轴的因子平面上上
，
（6）根据因素A和因素B各个水平在平面图上的分布，描述两因素及各个水平之间的相关关系。 8.4在进行相应分析时，应注意哪些问题？
答：要注意通过独立性检验判定是否有必要进行相应分析。因此在进行相应分析前应做独立性检验。 独立性检验中，H0：因素
A和因素B是独立的；H1：因素A和因素B不独立
由上面的假设所构造的统计量为
rc?(k)]2[k?Eijij2?k??(zij)2 ?????(k)Ei?1j?1i?1j?1rcij其中zij?(kij?ki.k.j/k)/ki.k.j，拒绝区域为?2??12??[(r?1)(c?1)]
应该注意几个问题。
第一，这里的zij是原始列联资料K?(kij)r?c通过相应变换以后得到的资料阵Z?(zij)r?c的元素。说明zij与?统计量有着内在的联系。
第二，关于因素
2B和因素
A各水平构成的协差阵Σc和Σr， tr(Σc)?tr(Σr)??2/k，这里
tr(.)表示矩阵的迹。
第三，独立性检验只能判断因素行相应分析；如果因素系。
A和因素B是否独立。如果因素A和因素B独立，则没有必要进
A和因素B不独立，可以进一步通过相应分析考察两因素各个水平之间的相关关