发布时间 : 星期三 文章应用多元统计分析讲稿（朱建平）更新完毕开始阅读
X?(X1,X2,?,Xp)?也不可能服从p元正态分布。
第四节 多元正态分布的参数估计
一、多元样本的数字特征 设样本资料可用矩阵表示为
??X1p??X(1)????X22?X2pX(2)??(X,X，?? ?，Xp)?12??????????Xn2?Xnp?X????(n)?在这里我们给出样本均值向量、样本离差阵、样本协差阵以及样本相关阵的定义。
?X11?X21?X?????Xn1?X12?定义2.9 设X(1),X(2),?,X(n)为来自p元总体的样本，其中X(a)?(Xa1,Xa2,?,Xap)?，a?1,2,?,n。
??X?（1） 样本均值向量定义为μ1n(a)X?na?1?(X1,X2,?,Xp)?
其中
n1n?Xa?1(a)??X11??X21??X1??Xn1???X11?X21???Xn1?????????????Xn2?1X12?X22???Xn2X1??X12??X22???????2? ?????????????n???n???????????????????XXXX?X???XX?1p????2p???np????1p?2pnp??????p?????
（2）样本离差阵定义为
n Sp?p?这里，
?(Xa?1(a)?X)(X(a)?X)??(sij)p?p （2.11）
n?(Xa?1(a)?X)(X(a)??Xa1?X1??????nX?Xa22???(Xa1?X1,Xa2?X2,?,Xap?Xp) ?X)? ????????a?1????X?X??p??ap????(XX)1a1?X)(X?X)1a222(X?X)a22?X)1(Xap?Xp)(X?X)a22???(X(Xa1a2?X)(Xap?Xp)1?X2)(Xap?X?(Xap?Xp)22?(X?X)a11n?(X?X)(X?2a1???a2??a?1?(X?Xp)(X?a1?ap??)p?????s11?s21??????sp1?s12s22?sp2???s1p??s2p??(s)ijp?p
???spp??1nS?1nn（3）样本协差阵定义为Vp?p?这里，
1nS?1n?(Xa?1(a)?X)(X(a)?X)??(vij)p?p （2.12）
?n(X(a)?X)(X(a)a?1?1?X)????n???vij(X?X)(X?X)?aiiajj?a?1?p?pn??p?p
????（4）样本相关阵定义为Rp?p?rij?p?p （2.13）
其中rij?vijviivjj?sijsiisjj
在此，我们应该提及的是，样本均值向量和离差阵也可用样本资料阵X直接表示如下：
1 Xp?1?X?1n 其中 1n?(1,1,?,1)?
n?X11?1?X121?X?1n ?n??n??X1p?X21X22?X2p???Xn1??1??X11?X21???Xn1??X1????Xn2?1?1?X12?X22???Xn2?X????????2?
?????????n?????????Xnp?X?X???XX1??????2pnp??1p?p?? 由于 Xp?1
那么，（2.11）式可以表示为：
nS??a?1(X(a)?X)(X(a)?X)??X?X?nXX??X?X?1nX?1n1?X?X?(In?n1n1n1?)X n（2.14）
?1?其中 In????0?0?? ?1??二、均值向量与协差阵的最大似然估计
多元正态分布有两组参数，均值μ和协差阵Σ，在许多问题中它们是未知的，需要通过样本来估计。那么，通过样本来估计总体的参数叫做参数估计，参数估计的原则和方法是很多的，这里用最常见的且具有很多优良性质的最大似然法给出μ和Σ的估计量。
设X(1),X(2),?,X(n)来自正态总体Np(μ,Σ)容量为n的样本，每个样品X(a)?(Xa1,Xa2,?,Xap)?，
a?1,2,?,n，样本资料阵为（2.1）式表示，即
?X11?X21?X?
?????Xn1XX?1222??Xn2???Xp2? ???Xnp??p1X????X ，Σ则可由最大似然法求出μ和Σ的估计量，即有μ1nS （2.15）
实际上，最大似然法求估计量可以这样得到。针对X(1),X(2),?,X(n)来自正态总体Np(μ,Σ)容量为n的样本，构造似然函数，即
nL(μ,Σ)??i?1f(Xi,μ,Σ)?1(2?)1pn/2Σn/2?1exp???2n?i?1(Xi?μ)?Σ?1?(Xi?μ)? （2.16）
?为了求出使（2.16）式取极值的μ和Σ的值，将（2.16）两边取对数，即
lnL(μ,Σ)??12pnln(2?)?n2nilnΣ?(X?2i?1?μ)?Σ(Xi?μ) （2.17）
?1因为对数函数是一个严格单调增函数，所以可以通过对lnL(μ,Σ)的极大值而得到μ和Σ的估计量。 这里我们要注意到，根据矩阵代数理论，对于实对称矩阵A，有?lnA?A。
?1?(X?AX)?X?2AX，
?(X?AX)?A?X?X，
?A那么，针对对数似然函数（2.17）分别对μ和Σ求偏导数，则有
n??lnL(μ,Σ)?1?Σ(Xi?μ)?0???μ?i?1（2.18）由（2.18）式可以得到极大似?n?12??lnL(μ,Σ)??nΣ?1?1(Xi?μ)(Xi?μ)?(Σ)?0???Σ22i?1?然估计量分别为
1n????Xi?X?μni?1? ?n1?Σ??1?(X?X)(X?X)?S?ii?nni?1?由此可见，多元正态总体的均值向量μ的极大似然估计量就是样本均值向量，其协差阵Σ的极大似然估计就是样本协差阵。
μ和Σ的估计量有如下基本性质： 1．E(X)?μ，即X是μ的无偏估计； E(1nS)?1n?11nn?1nΣ，即
1nS不是Σ的无偏估计，而E(1n?1S)?Σ，即
1n?1S是Σ的无偏估计；
2．X，3．X，
S分别是μ，Σ的有效估计；
1n?1S）分别是μ，Σ的一致估计（相合估计）。
S（或
样本均值向量和样本离差阵在多元统计推断中具有十分重要的作用，并有如下结论：
定理2.2 设X和S分别是正态总体Np(μ,Σ)的样本均值向量和离差阵，则 1．X~Np(μ,1nΣ)；
n?12．离差阵S可以写为S??Za?1a? 其中，Z1,?,Zn?1独立同分布于Np(0,Σ)； Za3．X和S相互独立；
4．S为正定阵的充要条件是n?p。 三、Wishart分布
??在实际应用中，常采用X和Σ1n?1S来估计μ和Σ，前面已指出，均值向量X的分布仍为正态分布，
2而离差阵S的分布又是什么呢？为此给出维希特（Wishart）分布，并指出它是一元?分布的推广，也是
构成其它重要分布的基础。
Wishart分布是Wishart在1928年推导出来的，而该分布的名称也即由此得来。
定义2.10 设X(a)?(Xa1,Xa2,?,Xap)?~Np(μa,Σ)，a?1,2,?,n且相互独立，则由X(a)组成的随机
n矩阵：Wp?p??a?1X(a)X(?a) （2.19）的分布称为非中心Wishart分布，记为Wp(n,Σ,Z)。
n其中Z?(?a1,?,?an)(?a1,?,?an)???μa?1a?，μa称为非中心参数；当μa?0时称为中心Wishart分布，μa记为Wp(n,Σ)，当n?p，Σ?0，Wp(n,Σ)有密度存在，其表达式为：
?w???f(w)??np22?????0,12(n?p?1)p(p?1)4?1??1exp??trΣw??2?,pn?i?1n2??Σ???2???i?1当w为正定阵 （2.20）
其它显然，当p?1，Σ??nn(a)2时，f(w)就是?2?2(n)的分布密度，此时（2.19）式为
1nW??Xa?1X?a(?)?Xa?12a，有()?2?Xa?12(a)22~?(n)。因此，Wishart分布是?分布在p维正态情况下
的推广。
下面给出Wishart分布的基本性质：
１．若X(a)~Np(μ,Σ)，a?1,2,?,n且相互独立，则样本离差阵
nS??(Xa?1(a)?X)(X(a)?X)?~Wp(n?1,Σ)，其中X?k1n(a)X?na?1。
k2．若Si~Wp(ni,Σ)，i?1,?,k，且相互独立，则?Si~Wp(?ni,Σ)。
i?1i?13．若Xp?p~Wp(n,Σ)，Cp?p为非奇异阵，则CXC?~Wp(n,CΣC?)。
这里我们有必要说明一下什么是随机矩阵的分布。随机矩阵的分布有不同的定义，此处是利用已知向量分
布的定义给出矩阵分布的定义。
这里我们有必要说明一下什么是随机矩阵的分布。随机矩阵的分布有不同的定义，此处是利用已知向量分布的定义给出矩阵分布的定义。 设随机矩阵
?X11X12?Xp?1??X21X22?Xp2? X?????????XX?X?n1?n2np??将该矩阵的列向量（或行向量）一个接一个地连接起来，组成一个长的向量，即拉直向量：
(X11,X21,?,Xn1,X12,X22,?,Xn2,?,X1p,X2p,?,Xnp)的分布定义为该阵的分布。若X为对称阵时，
由于
(X11Xi?Xj,X?,21n，
X,1p?n，故只取其下三角部分组成的拉直向量，即
,X?,,pX。n2
,)X,?2n2