发布时间 : 星期五 文章2017-2018版高中数学第三单元导数及其应用疑难规律方法教学案新人教B版选修1-1更新完毕开始阅读
因为两切线重合，所以2x1＝－2(x2－2)且－x1＝x2－4， 解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0. 所以直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.
点评 公切线问题的一般解法是分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两直线重合的条件建立方程组求解．
3 利用导数研究函数单调性常见题型
1．运用导数求函数的单调区间
利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，得单调区间． 12x例1 求函数f(x)＝x(e－1)－x的单调区间．
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解 由已知，得当f′(x)＝(e－1)(x＋1)＝0时，有x＝0或x＝－1. 当x<－1时，f′(x)>0；当－1
故f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)．
点评 单调区间开闭不扣分，但定义域不取的数一定不能取；断开的单调区间一般不合写，也不用“∪”连接，中间用“，”或“和”连接．
例2 已知函数f(x)＝x＋3x－2ln x，则函数f(x)的单调递减区间为________． 分析 先求函数f(x)的定义域和导数，再结合定义域解f′(x)<0即可． 解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
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xf′(x)＝2x＋3－.
x22x＋3x－2
令f′(x)<0，即2x＋3－＝<0，
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xx结合定义域知，x>0且2x＋3x－2<0，
11解得0 221 答案 (0，) 2 点评 求解该类问题时要注意两点：①不要忽视定义域；②如有多个单调递增(减)区间，不要把这些区间取并集． 2．证明不等式 2 1x例3 求证：当x>1时，ln x>－. 22 1x分析 可构造函数f(x)＝ln x－(－)，由于f(1)＝0，故若能证明f(x)为(1，＋∞)上的 22增函数，即证明在(1，＋∞)上，导函数f′(x)>0恒成立即可． 1x证明 令f(x)＝ln x－(－)，则有f(1)＝0. 2211＋x因为f′(x)＝＋x＝>0(x∈(1，＋∞))， 2 2 2 2 xx所以函数f(x)为(1，＋∞)上的增函数， 又f(1)＝0，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0恒成立， 1x即ln x>－. 22 点评 证明不等式f(x)>g(x)，x∈(a，b)的一般方法：构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，x∈(a， 2 b)，分析F(x)在区间(a，b)上的单调性及最小值与0的大小，进而说明F(x)>0在(a，b)内 恒成立即可． 3．求参数的取值范围 例4 已知函数f(x)＝x－ax＋1. (1)若函数f(x)的单调递减区间是(0,2)，求实数a的取值范围； (2)若函数f(x)在区间(0,2)内单调递减，求实数a的取值范围． 分析 注意正确区分“在某区间单调”和“单调区间”的概念，避免混淆． 解 (1)由f(x)的单调递减区间为(0,2)可知，0与2是方程f′(x)＝3x－2ax＝0的两根， 故有3×2－2a×2＝0，解得a＝3. (2)由函数f(x)在区间(0,2)内单调递减可知， 2 2 3 2 f′(x)＝3x2－2ax≤0在(0,2)内恒成立， 即2a≥3x在区间(0,2)内恒成立． 因为x∈(0,2)，所以3x∈(0,6)，故2a≥6，即a≥3. 经验证a＝3时满足题意，故a的取值范围为[3，＋∞)． 点评 若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则有f′(x)≥0(f′(x)≤0)对x∈D恒成立，这类问题，通常利用导数转化为不等式在某区间上的恒成立问题，进而把恒成立问题转化为求一个函数在某区间上的最大(小)值问题求解．也可根据所给区间是单调递增(减)区间的子区间求解． 4 巧用导数求极值 1．函数的极值点的判定方法 设函数f(x)在x0处连续，判定f(x0)是极大(小)值点的方法：(1)如果在x0两侧f′(x)符号相同，则x0不是函数f(x)的极值点；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(3)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．也就是说，极大值点可以看成是函数递增区间与递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值．极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值． 2．极值常见题型详解 (1)利用导数求函数的极值 例1 求函数f(x)＝xln x的极值点． 解 f′(x)＝ln x＋1，x>0. 1 而f′(x)>0?ln x＋1>0?x>， e f′(x)<0?ln x＋1<0?0 11 所以f(x)在(0，)上是递减的，在(，＋∞)上是递增的． ee1 所以x＝是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在． e 点评 求极值问题一定注意函数的定义域，所以在定义域内研究函数的极值是求极值时应注意的知识点，再利用求极值的步骤求解即可． (2)含参数的极值问题 例2 设a∈R，函数f(x)＝ln x－ax.讨论函数f(x)的单调区间和极值． 解 由已知，得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 11－axf′(x)＝－a＝. xx①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是递增的，无极值； 1 ②若a>0，令f′(x)＝0，得x＝. 1e a1 当x∈(0，)时，f′(x)>0，f(x)是递增的； a1 当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)是递减的． a1 所以当x＝时，f(x)有极大值， a11 极大值为f()＝ln －1＝－ln a－1. aa综上所述，当a≤0时，f(x)的递增区间为(0，＋∞)，无极值； 1 当a>0时，f(x)的递增区间为(0，)， a1 递减区间为(，＋∞)，极大值为－ln a－1. a点评 本题通过求导，把问题转化为含参数的不等式问题，需要对问题进行讨论，讨论时需要全面，避免遗漏． (3)极值问题的逆向考查 3 2 2 例3 已知函数f(x)＝x＋ax＋bx－a－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为( ) 2A．－ 32 C．－2或－ 3 2 abB．－2 D．不存在 解析 由题意知f′(x)＝3x＋2ax＋b. ??3＋2a＋b＝0，所以?2 ?1＋a＋b－a－7a＝10，???a＝－2，解得? ?b＝1? ??a＝－6， 或? ?b＝9.? ??a＝－6， 经检验? ?b＝9? 满足题意， a2 所以＝－.故选A. b3 答案 A 点评 本题是已知极值求参数，逆向考查了极值的含义，解题关键是需要对所求参数进行讨论，是否满足极值的条件．如果不满足，需要舍去． 5 分类讨论思想在导数中如何应用 分类讨论思想在导数中的应用非常广泛，尤其是在求含参数的函数的单调区间、极值或最值的问题中，那么如何确定分类讨论的标准呢？ 1．按导数为零的根的大小来分类 例1 设函数f(x)＝－x(x－a)(x∈R)，其中a∈R且a≠0，求函数f(x)的极大值和极小值． 解 f′(x)＝－(3x－a)(x－a)，令f′(x)＝0， 解得x＝a或x＝. 3 2 a