发布时间 : 星期三 文章高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.3 函数的奇偶性与周期性更新完毕开始阅读
【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念
与基本初等函数I 2.3 函数的奇偶性与周期性
1．函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－图象特点 关于y轴对称 奇函数 2.周期性 f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
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(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【知识拓展】
1．如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. 2．如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． 3．对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a； (2)若f(x＋a)＝
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fx，则T＝2a.
4．对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )
(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( √ )
(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．( √ )
(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．( √ ) (5)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( √ ) (6)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( √ )
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1．(2015·福建)下列函数为奇函数的是( ) A．y＝x C．y＝cos x 答案 D
解析 对于D，f(x)＝e－e的定义域为R，f(－x)＝e－e＝－f(x)，故y＝e－e为奇函数．
而y＝x的定义域为{x|x≥0}，不具有对称性，故y＝x为非奇非偶函数．y＝|sin x|和y＝cos x为偶函数．故选D.
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2．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x＋，则f(－1)等于( )
x－x－x
B．y＝|sin x| D．y＝e－e
x－xxx－xxA．－2 B．0 C．1 D．2 答案 A
解析 f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2. 3．(2015·天津)已知定义在R上的函数f(x)＝2
|x－m|
－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，
b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜b＜c C．a＜c＜b 答案 B
解析 由函数f(x)＝2
|x|
|x－m|
B．c＜a＜b D．c＜b＜a
－1为偶函数，得m＝0，
所以f(x)＝2－1，当x＞0时，f(x)为增函数， log0.53＝－log23，所以log25＞|－log23|＞0，
所以b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)＝f(0)，故选B.
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4．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝，且对任意的x都有f(x＋3)＝，则
5－fxf(7)＝________；f(2 014)＝________.
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答案 －5
5解析 由f(x＋3)＝
1－f，得f(x＋6)＝x－f1
＝f(x)，故函数f(x)是周期为6的x＋3
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周期函数．故f(7)＝f(1)＝，f(2 014)＝f(6×335＋4)＝f(4)＝＝＝－5.
5－f11
－55．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝________. 答案 x(1－x)
解析 当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)． 又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)， ∴f(x)＝x(1－x)．
题型一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x－x； (2)f(x)＝(x＋1)
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1－x； 1＋x??x＋x， x<0，
(3)f(x)＝?2
?－x＋x， x>0.?
解 (1)定义域为R，关于原点对称，
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