发布时间 : 星期一 文章《点集拓扑讲义》第七章 紧致性 学习笔记更新完毕开始阅读
这个结论也可以根据推论7.2.4和定理6.4.3直接推出．根据这个推论联系着表6.1并且留意到每一个紧致空间都是Lindeloff空间这一事实，我们可有图表7.1．从这个图表中可以看出，在紧致空间中分离性公理显得特别简单．
图表7.1：紧致空间中的分离性公理
定理7.2.7 设X是一个正则空间．如果A是X中的一个紧致子集，U是A的一个开邻域，则存在A的一个开邻域V使得
．
证明 设A是正则空间X中的一个紧致子集，U是A的一个开邻域．对于任何x∈A，点x有一个开邻域
使得
集族{
|x∈A}是紧致子集A的
，它
一个开覆盖，它有有限子族，设为{ 是A的一个开邻域，并且
}，覆盖A．令
根据这个定理立即可见，每一个紧致的正则空间都是正规空间．然而这并不是什么新结论，因为每一个紧致空间都是Lindeloff空间，所以它明显地蕴涵于定理6.4.3中．
然而紧致的正规空间可以不是正则空间．例子见于例6．2．3．在那个正规而非正则空间的例子中的拓扑空间只含有有限多个点，当然会是紧致的．
定理7.2.8 从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个连续映射都是闭映射．
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证明 设X是一个紧致空间，Y是一个Hausdorff空间，f:X→Y是一个连续映射．如果A是紧致空间X中的一个闭子集．则它是紧致的（参见定理 7.1.5），因此它的象集f（A）是Hausdorff空间Y中的一个紧致子集（参见定理7.1.4），所以又是闭集（参见推论7.2.2）．这证明f是一个闭映射．
因为一个既单且满的开（或闭）的连续映射即是一个同胚，所以我们有： 推论7.2.9 从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个既单且满的（即—一的）连续映射都是同胚．
作业:
P192 1.2.
§7.3 n维欧氏空间
中的紧致子集
定义7.3.1 设（X，ρ）是一个度量空间，AX．如果存在实数M＞0使
得ρ（x，y）＜M对于所有x，y∈A成立，则称A是X的一个有界子集；如果X本身是一个有界子集，则称度量空间（X，ρ）是一个有界度量空间．
定理7.3.1 紧致度量空间是有界的．
证明 设（X，ρ）是一个紧致度量空间．由球形邻域构成的集族{B（x，1）|x∈X}是X的一个开覆盖，它有一个有限子覆盖，设为{B（x1，1），B（x2，1），?，B（xn，1）}．令
M＝rnax{ρ(xi，xj）|1≤i，j≤n}十2
如果x，y∈X，则存在i，j，1≤i，j≤n，使得x∈B（xi，l）和y∈B（xj，l）．于是
ρ（x，y）＜ρ（x，xi）＋ρ（xi，xj）十ρ（xj，y）＜M
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因此度量空间中的每一个紧致子集都是有界子集．特别n维欧氏空间每一个紧致子集都是有界的．
的
下面作为引理给出单位闭区间[0,1]是一个紧致空间的证明．尽管读者可能早已熟知这个结论．
引理7.3.2 单位闭区间[0,1]是一个紧致空间． 证明 设A是[0，1]的一个开覆盖．令
P＝{x∈[0，l]|A有一个有限子族覆盖[0，x]} 它是[0，1]的一个子集．对于集合P，我们依次证明， （l）P
．因为显然0∈P;
（2）P是一个开集．
设x∈P．则A有一个有限子族，设为{
}，覆盖[0，x]．当x=1
时，易见P＝[0，l]，它是一个开集．因此x是P的一个内点．下设x＜1．这时对于某一个i0,1≤i0≤n,有x∈存在实数ε＞0使得[x，x+ε)x+ε)
.由于
是[0，1]中的一个开集，所以
.．这蕴涵[0，
．于是[0，x＋ε)
P．由于[0，x＋ε）是[0，1]中的一个包含x的开集，所以x是P的
一个内点．以上证明了集合P中的任何一个点都是P的内点，所以它是一个开集.
（3）P是一个闭集． 设x∈
=[0,1]-P．根据集合P的定义可见，[x，1]
．另外根据(1)
可见．0＜x.选取选取A∈A使得x∈A．由于A是一个开集，所以存在实数ε＞0使得（x－ε，x]
A．假如（x－ε,x]∩P≠
，设z∈（x－ε，x]∩P．则
A有一个有限子族A1覆盖[0,z]，因此A的有限子族A1∪{A}覆盖[0，x]，这与xP矛盾．所以（x－ε，x]∩P=因此x是
，即（x－ε,x],从而(x-ε,1],
的一个内点．这证明是一个开集，即P是一个闭集．
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根据上述三条，P是[0，l]中的一个既开又闭的非空子集．由于[0,1]是一个连通空间，所以P=[0,1]，特别，1∈P．这也就是说A有一个有限子族覆盖［0，1］．以上证明了[0，1]的任何一个开覆盖有有限子覆盖，故[0，1]是一个紧致空间．
任何一个闭区间[a，b]（a＜b），由于它和单位闭区间［0，1］同胚，所以是紧致的．并且作为紧致空间的积空间，可见n维欧氏空间方体
定理7.3.3 设A是n维欧氏空间当且仅当A是一个有界闭集．
证明 设ρ是n维欧氏空间 “的；由于
“A
”:如果A
的通常度量．
中的一个子集．则A是一个紧致子集
（a＜b）也是紧致空间．
中任何一个闭
是一个紧致子集，则根据定理7.3.1，它是有界
是一个Hausdorff空间，根据推论7.2.2，它是一个闭集． ”:设A
是一个有界闭集．如果A=
，则A是紧致的．下设
．于是存在实数M＞0使得对于任何x，y∈A有ρ(x，y）＜M．任意选取
．容易验证中的一个闭子
x0∈A，并且令N=M十ρ（0，x0），其中0=（0，0，?，0）∈（根据三角不等式）A集必定是紧致的．
．因此A作为紧致空间
定理7.3.4 设X是一个非空的紧致空间，f:X→R是一个连续映射．则存在x0，x1∈X使得对于任意x∈X有
f（x0）≤f(x)≤f(x1)
换言之,从非空的紧致空间到实数空间R的任何一个连续映射都可以取到最大点与最小点．
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