发布时间 : 星期二 文章(优辅资源)版湖南师大附中高一下学期期末考试数学Word版含答案更新完毕开始阅读
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两边平方可得：cos 2α＋2cos αsin β＋sin 2β＝0，②，
由①＋②得：2＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，即2＋2sin(α＋β)＝1， ∴2sin(α＋β)＝－1. 1
∴sin(α＋β)＝－.
2
1?17→→→→
14. 【解析】∵AB⊥AC，|AB|·|AC|＝1，建立如图所示坐标系，设B??t，0?，C(0，t)，8→→
1?1AC11→?1?→→AB
，0＋(0，t)＝(1，)，∴P(1，)， AB＝?t，0?，AC＝(0，t)，AP＝＋＝t??t?4t44→→
|AB|4|AC|
111→→
－1，t－?＝λ?－1，－?，即∵P为线段BC上一点，∴可设PC＝λPB，从而有?4?4???t
?
??
1?λ??t－1?＝－1，1
解之得t＝.
211
t－＝－λ，44
11
0，?.显然P?1，?为BC中点，∴B(2，0)，C?∴点P为△ABC外接圆圆心．Q在△ABC?2??4?→有最大值为2→＝17， 外接圆上，又当AQ过点P时AQAP2
||||
→→→→此时AP与AQ夹角为θ＝0°，cos θ＝1.∴AP·AQ()
max
＝
171717
×＝. 248
三、解答题
5sin α－cos α5tan α－1
15．【解析】(1)由题意，cos α≠0，由＝1，可得＝1，
cos α＋sin α1＋tan α1
即5tan α－1＝1＋tan α，解得tan α＝.(4分)
22tan α4
(2)由(1)得tan 2α＝＝，
1－tan2α3
试 卷
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tan 2α＋1π
tan?2α＋?＝＝－7.(8分)
4?1－tan 2α?
16．【解析】(1)角α的终边过点(3，4)，∴r＝32＋42＝5， y4x3
∴sin α＝＝，cos α＝＝；
r5r5π
∴a·b＝2sin α＋sin?α＋?
4??ππ
＝2sin α＋sin αcos＋cos αsin
444423232
＝2×＋×＋×＝.(5分)
552522π
(2)若a∥b，则2sin αsin?a＋?＝1，
?4?ππ
即2sin α?sin αcos＋cos αsin?＝1，
44??∴sin 2α＋sin αcos α＝1， ∴sin αcos α＝1－sin 2α＝cos 2α， 对锐角α有cos α≠0， ∴tan α＝1， π
∴锐角α＝.(10分)
4
π
17．【解析】(1)f(x)＝sin?－x?sin x－3cos 2x
?2?＝cos xsin x－
3(1＋cos 2x) 2
π1333
＝sin 2x－cos 2x－＝sin?2x－?－， 2223?2?2－3因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.(6分)
2(2)当x∈?
ππππ5ππ2π?时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)，3326123??6
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ππ2π5
单调递增；≤2x－≤π即π≤x≤时，f(x)单调递减．
23123
π5π5π2π?综上可知，f(x)在?，?上单调递增；在??612??12，3?上单调递减．(12分) a2＋a20a1＋a21S21149149
18. 【解析】＝＝＝. 24b7＋b15b1＋b21T2124
x2＋1＋2x＋sin x2x＋sin x19．2 【解析】可以将函数式整理为f(x)＝＝1＋，不妨令g(x)
x2＋1x2＋1＝
2x＋sin x
，易知函数g(x)为奇函数关于原点对称，∴函数f(x)图象关于点(0，1)对称．若x
x2＋1
＝x0时，函数f(x)取得最大值M，则由对称性可知，当x＝－x0时，函数f(x)取得最小值m，因此，M＋m＝f(x0)＋f(－x0)＝2.
20．【解析】(1)如图，取PD中点M，连接EM、AM.由于E、M分别为PC、PD的中点，1
故EM∥DC，且EM＝DC，又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四边形ABEM为平行
2四边形，所以BE∥AM.
因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，从而CD⊥平面PAD，因为AM面PAD，于是CD⊥AM，又BE∥AM，所以BE⊥CD.(5分)
(2)连接BM，由(1)有CD⊥平面PAD，
得CD⊥PD，而EM∥CD，故PD⊥EM，又因为AD＝AP，M为PD的中点，故PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD.所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，而BE⊥EM，可得∠EBM为锐角，故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．
依题意，有PD＝22，而M为PD中点，可得AM＝2，进而BE＝2.故在直角三角形EMAB13BEM中，tan∠EBM＝＝＝，因此sin∠EBM＝.
BEBE32
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为21．【解析】(1)∵在四边形ABCD中，
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平
3
.(13分) 3
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AD∥BC，AB＝3，∠A＝120°，BD＝3. 3＋AD2－9
∴由余弦定理得cos 120°＝，
2×3×AD解得AD＝3(舍去AD＝－23)， ∴AD的长为3.(5分)
1
(2)∵AB＝AD＝3，∠A＝120°，∴∠ADB＝(180°－120°)＝30°，又AD∥BC，∴
2∠DBC＝∠ADB＝30°.
∵∠BCD＝105°，∠DBC＝30°，∴∠BDC＝180°－105°－30°＝45°，△BCD中，BC3
由正弦定理得＝，解得BC＝33－3.(9分)
sin 45°sin 105°
119
从而S△BDC＝BC·BDsin∠DBC＝×(33－3)×3×sin 30°＝(3－1)．(10分)
224113
S△ABD＝AB×ADsin A＝×3×3×sin 120°＝3.(11分)
224∴S＝S△ABD＋S△BDC＝
123－9
.(13分) 4
22．【解析】(1)当b＝－1时，f(x)＝x|x－a|－x＝x(|x－a|－1)， 由f(x)＝0，解得x＝0或|x－a|＝1， 由|x－a|＝1，解得x＝a＋1或x＝a－1. ∵f(x)恰有两个不同的零点且a＋1≠a－1， ∴a＋1＝0或a－1＝0，得a＝±1.(4分) (2)当b＝1时，f(x)＝x|x－a|＋x，
f（x）①∵对于任意x∈[1，3]，恒有≤2x＋1，
x即
x|x－a|＋x
≤2x＋1，即|x－a|≤2x＋1－1， x
∵x∈[1，3]时，2x＋1－1>0，
∴1－2x＋1≤x－a≤2x＋1－1，
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