发布时间 : 星期六 文章第二讲 三角变换与解三角形更新完毕开始阅读
例2 △ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝2a.
b(1)求；
a
(2)若c2＝b2＋3a2，求B.
审题破题 (1)利用正弦定理，化去角B的三角函数，再化简求值；(2)由条件结构特征，联想到余弦定理，求cos B的值，进而求出角B. 解 (1)由正弦定理，得asin B＝bsin A， 又asin Asin B＋bcos2A＝2a，
b
所以bsin2A＋bcos2A＝2a，即b＝2a.所以＝2.
a(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2， ?1＋3?a
又0° 1 由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝. 2 2 又cos B>0，故cos B＝，又0° 2 反思归纳 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口． 变式训练2 (2013·山东)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6， 7 b＝2，cos B＝. 9 (1)求a，c的值； (2)求sin(A－B)的值． 解 (1)由余弦定理得： a2＋c2－b2a2＋c2－47 cos B＝＝＝， 2ac2ac9 14 即a2＋c2－4＝ac. 9 14 ∴(a＋c)2－2ac－4＝ac，∴ac＝9. 9 ??a＋c＝6，由?得a＝c＝3. ??ac＝9 7(2)在△ABC中，cos B＝， 9∴sin B＝1－cos2B＝ 7?2421－??9?＝9. ab 由正弦定理得：＝， sin Asin B 423×9asin B22 ∴sin A＝＝＝. b23 π 又A＝C，∴0 2 1 1－sin2A＝， 3 227142102 ∴sin (A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝×－×＝. 393927题型三 解三角形的实际应用 例3 某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形 的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D. (1)求AB的长度； (2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低，请说明理由． 审题破题 首先借助余弦定理列式，通过等量关系求出角C的大小，进而求AB的长度；然后借助正弦定理比较三角形的面积大小，并作出判断． 解 (1)在△ABC中，由余弦定理得， AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C ＝162＋102－2×16×10cos C．① 在△ABD中，由余弦定理及∠C＝∠D整理得， AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos D ＝142＋142－2×142cos C．② 由①②得： 142＋142－2×142cos C＝162＋102－2×16×10cos C， 1 整理可得cos C＝， 2又∠C为三角形的内角，所以∠C＝60°. 又∠C＝∠D，AD＝BD，所以△ABD是等边三角形， 即AB的长度是14. (2)小李的设计符合要求．理由如下： 1 S△ABD＝AD·BDsin D， 21 S△ABC＝AC·BCsin C， 2 因为AD·BD>AC·BC，∠C＝∠D，所以S△ABD>S△ABC. 又已知建造费用与用地面积成正比，故选择△ABC建造环境标志费用较低． 即小李的设计使建造费用较低． 反思归纳 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步： (1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等； (2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出； (3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解； (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案． 变式训练3 (2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种 是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车 12 匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量cos A＝，cos C 13 3＝. 5 (1)求索道AB的长； (2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 123 解 (1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝， 135 54 所以sin A＝，sin C＝. 135从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C) ＝sin Acos C＋cos Asin C 5312463＝×＋×＝. 13513565 ABAC 由正弦定理＝，得 sin Csin BAC1 2604AB＝×sin C＝×＝1 040(m)． sin B635 65所以索道AB的长为1 040 m. (2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m， 所以由余弦定理得 12 d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)× 13＝200(37t2－70t＋50)， 1 040 由于0≤t≤，即0≤t≤8， 130 35 故当t＝ min时，甲、乙两游客距离最短． 37 BCAC (3)由正弦定理＝， sin Asin BAC1 2605 得BC＝×sin A＝×＝500(m)． sin B6313 65 乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C. 5007101 250625 设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤v－≤3，解得≤v≤， 504314所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在 ?1 250，625?(单位：m/min)范围内． 14??43 典例 (12分)已知向量a＝(cos ωx，sin ωx)，b＝(cos ωx，3cos ωx)，其中0<ω<2.函数f(x)1π ＝a·b－，其图象的一条对称轴为x＝. 26 (1)求函数f(x)的表达式及单调递增区间； A?(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S为其面积，若f??2?＝1，b＝1，S△ABC＝3，求a的值． 规范解答 1解 (1)f(x)＝a·b－ 2 1 ＝cos2ωx＋3sin ωxcos ωx－ 21＋cos 2ωx31＝＋sin 2ωx－ 222 π 2ωx＋?.[3分] ＝sin?6?? ωππ?π 当x＝时，sin?1， ?3＋6?＝±6ωπππ 即＋＝kπ＋，k∈Z. 362 ∵0<ω<2，∴ω＝1.[5分] π2x＋?. ∴f(x)＝sin?6??πππ 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 262ππ ∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 36 ππ ∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.[7分] 36 A??A＋π?＝1， (2)f?＝sin?2??6?ππ7 在△ABC中，0 666